Dm Ts

[nilo71]

Bonjour,

voila je bloque pour 2 questions et cela m empeche de continuer mon DM pouvez vous m aider ?

merci d avance

Le but du probleme est l etude de f definie sur ]0,+inf[ par f(x)= (ln(e^2x-1)) / e^x

A) etude d une fonction auxiliaire g

Soit g definie sur ]1,+inf[ par g(x)=2x-(x-1)ln(x-1)

1)determiner la limite de g en 1

(j ai trouve 2)

2)determiner g'(x)

(j ai trouve g'(x)=1-ln(x-1))

3)resoudre l inequation ln(x-1) inferieur a 1, en deduire le tableau de variation de g

( l inequation a pour sol : S=]1;e+1[

et g(x) est croissante de ]1;e+1[ et decroissante de ]e+1;+inf[)

4)montrer que l inequation g(x)=0 a, dans l intervalle [e+1;e³+1], une solution unique note b. etudier le signe de g(x)sur chacun des intervalle ]1;b[ et ]b;+inf[

(je n ai pas eu de probleme pour cette question)

B) etude de h

Soit la fonction h definie sur ]1;+inf[ par h(x)= (ln(x²-1)) / x

1)a) calculer la limite en 1 de h(x)

(je suis bloque)

b)calculer la limite en + inf de h(x)

(je suis bloque)

2)a) calculer h'(x) et montrer que h'(x) est du signe de g(x²) sur ]1;+inf[

(j ai trouve h'(x)= (2x²-(x²-1)ln(x²-1)) / (x²-1))

b)en deduire que h est croissante sur ]1, b[ et decroissante sur ] b;+inf[

(je n ai pas eu de probleme)

C) etude de f

1) verifier que pour tout x appartenant a ]0;+inf[ on a f(x)=h(e^x)

(je n ai pas eu de probleme)

2) en deduire la limite de f quand x tend vers 0

(je suis bloque)

3) en deduire la limite de f en 0. en deduire la limite de f en +inf

(je suis bloque)

4) en deduire que f admet un extremum en ln( b) et les variations de f sur ]0;+inf[

(je suis bloque)

Merci d avoir prete attention a mon probleme

[nilo71]

Personne ne peut m aider ?

[Barbidoux]

Bonjour,

voila je bloque pour 2 questions et cela m empeche de continuer mon DM pouvez vous m aider ?

merci d avance

Le but du probleme est l etude de f definie sur ]0,+inf[ par f(x)= (ln(e^2x-1)) / e^x

A) etude d une fonction auxiliaire g

Soit g definie sur ]1,+inf[ par g(x)=2x-(x-1)ln(x-1)

1)determiner la limite de g en 1

(j ai trouve 2)

2)determiner g'(x)

(j ai trouve g'(x)=1-ln(x-1))

3)resoudre l inequation ln(x-1) inferieur a 1, en deduire le tableau de variation de g

( l inequation a pour sol : S=]1;e+1[

et g(x) est croissante de ]1;e+1[ et decroissante de ]e+1;+inf[)

4)montrer que l inequation g(x)=0 a, dans l intervalle [e+1;e³+1], une solution unique note b. etudier le signe de g(x)sur chacun des intervalle ]1;b[ et ]b;+inf[

(je n ai pas eu de probleme pour cette question)

B) etude de h

Soit la fonction h definie sur ]1;+inf[ par h(x)= (ln(x²-1)) / x

1)a) calculer la limite en 1 de h(x)

(je suis bloque)

Lorsque x-> 1 ==> x^2-1 ->0 et h(x) = ln(x^2-1)/x -> - :infini:/1 -> -

b)calculer la limite en + inf de h(x)

(je suis bloque)

Lorsque x-> ==> x^2>1 et h(x) ln(x^2)/x=2*ln(x)/x -> 0

2)a) calculer h'(x) et montrer que h'(x) est du signe de g(x²) sur ]1;+inf[

(j ai trouve h'(x)= (2x²-(x²-1)ln(x²-1)) / (x²-1))

b)en deduire que h est croissante sur ]1, b[ et decroissante sur ] b;+inf[

(je n ai pas eu de probleme)

C) etude de f

1) verifier que pour tout x appartenant a ]0;+inf[ on a f(x)=h(e^x)

(je n ai pas eu de probleme)

2) en deduire la limite de f quand x tend vers 0

(je suis bloque)

Lorsque x-> 0 ==> exp(2*x) -> 1 ==>Ln(exp(2*x)-1) et f(x)= Ln(exp(2*x)-1)/exp(x) -> - :infini:/1-> -

3) en deduire la limite de f en 0. en deduire la limite de f en +inf

(je suis bloque)

Lorsque x-> ==> exp(2*x) >> 1 ==> f(x)= Ln(exp(2*x)-1)/exp(x) Ln(exp(2*x))/exp(x) =2*x/exp(x) ->0

4) en deduire que f admet un extremum en ln( b) et les variations de f sur ]0;+inf[

(je suis bloque)

h(x) passe par un maximum pour x= b (cf B-b) ==> f(x)=h(exp(x)) passe par un maximum pour une valeur de x telle que tel que exp(x)= b soit x= ln( b)

rapidement fait, à vérifier.....

Merci d avoir prete attention a mon probleme

[nilo71]

merci beaucoup !!