Devoir Ts

[Dub]

bonjour pouvez vous m'aidez svp merci d'avance

[Dub]

exo1 suite (reponse a justifier)

a) Re((1+i*racine(3))^6) = 6 * Re (1+i*racine(3))

b) Im((1+i*racine(3))^6) = 6 * Im (1+i*racine(3))

c) Arg((1+i*racine(3))^6) = 6 * Arg (1+i*racine(3)) [2pi]

d) ((1+i)^4) / (((1+i*racine(3))^6) = 1 / 16

Exo 2

Soit f defini sur R par f(x)= exp(x) -x -1

1) montrer que exp(x) superieur ou egal a x+1

2) en deduire pour n superieur ou egal a 1 les egaliter (1) et (2)

(1) exp(1/n) superieur ou egal a n+(1/n) et (2) exp(-1/(n+1)) superieur ou egal a 1-(1/(n+1))

3) en utilisant (1) demontrer pour n superieur ou egal a 1 que (1+(1/n))^n inferieur ou egal exp(1)

4) en utilisant (2) demontrer pour n superieur ou egal a 1 que (1+(1/n))^(n+1) superieur ou egal exp(1)

5) deduire que (n/(n+1))*e inferieur ou egal (1+(1/n))^n inferieur ou egal exp(1)

et etudier la convergence de Un = exp(1) ; Vn = (n/(n+1))*e et Wn = (1+(1/n))^n

merci d'avance

[Dub]

svp c'est urgent c'est pour demain

[Barbidoux]

-----------------------------------

exo1 suite (reponse a justifier)

--------------------------

(1+i* (3))=2*(1/2+ i* (3)/2)=2*(Cos(Pi/3)+ i*Sin(Pi/3))=2*exp(i*Pi/3)

(1+i* (3))^6=(2*exp(i*Pi/3))^6=2^6*exp(i*2*Pi)

---------------------------

a) Re((1+i* (3))^6) = 6 * Re (1+i* (3)) Faux Re(1+i* (3))=1 et Re((1+i* (3))^6) =2^6=64

-------------------------------------

b) Im((1+i* (3))^6) = 6 * Im (1+i* (3)) Faux Im((1+i* (3)))= (3) et Im((1+i* (3) )^6) =0

--------------------------------------

c) Arg((1+i* (3))^6) = 6 * Arg (1+i* (3)) [2pi]

--------------------------------------

Vrai Arg (1+i* (3))=Pi/3 et Arg((1+i* (3))^6) =6*Pi/3=2*Pi

--------------------------------------

d) ((1+i)^4) / ((1+i*racine(3))^6) = 1 / 16

--------------------------------------

Faux

(1+i)= 2 *(1/ 2+i/:sqrt: 2)= 2*(Cos(Pi/4)+i*Sin(Pi/4))= 2* exp(i*Pi/4)

(1+i)^4=4*exp(i*Pi)

(1+i)^4/(1+i* (3))^6=4*exp(i*Pi)/(2^6*exp(i*2*Pi))=-4/64=-1/16

[Barbidoux]

---------------------------------------

Exo 2

-----------------------

Soit f defini sur R par f(x)= exp(x) -x -1

1) montrer que exp(x) superieur ou egal a x+1

------------------------

f’(x)=exp(x)-1

.........................................0......................................

f’(x)................(-)...............(0)............(+)..................

f(x)............decrois...........Min............crois................

f(0)=0 ==> que f(x)>0 ==> exp(x) x+1

---------------------------------------------

2) en deduire pour n superieur ou egal a 1 les egaliter (1) et (2)

(1) exp(1/n) superieur ou egal a n+(1/n) et (2) exp(-1/(n+1)) superieur ou egal a 1-(1/(n+1))

-----------------------------

x=1/n ==> exp(1/n) 1/n+1

x=-1/(n+1) ==> exp(-1/(n+1)) 1-1/(n+1)

------------------------------

3) en utilisant (1) demontrer pour n superieur ou egal a 1 que (1+(1/n))^n inferieur ou egal exp(1)

---------------------

pour n 1 les deux termes de l’inégalité exp(1/n) 1/n+1 sont >0 ==> exp(1/n)^n (1/n+1)^n ==> exp(n/n) (1/n+1)^n ==> exp(1) (1/n+1)^n

-----------------------

4) en utilisant (2) demontrer pour n superieur ou egal a 1 que (1+(1/n))^(n+1) superieur ou egal exp(1)

------------------------

exp(-1/(n+1)) 1-1/(n+1) ==> exp(-1/(n+1)) n/(n+1) ==> (n+1)/n 1/exp(-1/(n+1)) ==> (1+1/n) exp(1/(n+1)) ==> (1+1/n)^(n+1) exp(1/(n+1)) ^(n+1) ===>(1+1/n)^(n+1) exp(1)

--------------------------

5) deduire que (n/(n+1))*e inferieur ou egal (1+(1/n))^n inferieur ou egal exp(1)

---------------------------

(1+1/n)^(n+1) exp(1) ==> (1+1/n)*(1+1/n)^n exp(1) ==>(1+1/n)^n exp(1)/(1+1/n) ==>(1+1/n)^n (n/(n+1))*exp(1) ==>exp(1) (1/n+1)^n (n/(n+1))*exp(1)

-----------------------------

et etudier la convergence de Un = exp(1) ; Vn = (n/(n+1))*e et Wn = (1+(1/n))^n

------------------------------------------

Lorsque n->0 Un=exp(1) et Vn (n/n) *exp(1) -> exp(1) et donc puique Un Wn Vn Wn -> exp(1) (thèorème des gendarmes)

[Barbidoux]

-------------------

Exo 1

--------------

a- Faux elle est paire puisque Cos(a)=Cos(-a) donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnée (droite x=0)

b- vrai Sin(-x)=-Sin(x) , la fonction Sin(x) a bien une période de 2*Pi mais comme Cos(a)=Cos(-a) la fonction Cos(Sin(x)) a une période de Pi

c- exact l’étude sur 0, Pi/2 suffit puisque le graphe de Cos(Sin(x)) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnée ce qui permet de tracer la fonction sur -Pi/2, Pi/2 puis de le propager le tracé par une transation de module égal à Pi

Graphe de Cos(Sin(x))

[Dub]

les questions sont indépendantes

1/ soit la fonction f définie sur ]-oo;-1/2[ par f(X)=6x+1/2x+1 : montrer que la droite d'équation y=3 est asymptote à Cf courbe représentative de f dans un repère orthogonal.

2/ soient deux réels a et b tels que 0<a<b et une fonction u définie et dérivable sur R+

compléte sur ta copie, après avoir justifié soigneusement, les propositions suivantes :

si u'(X) >0 pour tout réel x E [a;b] c'est à dire a<x<b alors a) u'(1/x) >0 pour tout réel x E ..........

u'(x²)>0 pour tout réel xE ...........

[Dub]

je ne refuse pas l'aide mais enfaite j'ai trouver les reponse donc merci qd meme