Exo De Dm De Ts

[valbuenadu62]

slt a tous, voila je suis bloqué sur mon dernier exo de dm et la je comprend absolument rien donc si vous pouviez m'aider sa serait vraiment sympa.

Voici l'énoncé:

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, i, j). On s'intéresse aux fonctions f dérivable sur [0, + [ vérifiant les conditions:

(1) pour tout réel x appartenant à[0, + [, f '(x) = 4-(f(x))^2 ;

(2) f(0) = 0.

On admet qu'il existe une unique fonction f verifiant simultanément (1) et (2).

Partie A:

Afin d'obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction f, on utilise la méthode itérative d'Euler avec un pas égal à 0,2. On obtient ainsi une suite de points notés (M_n), d'abscisse x_n et d'ordonnée y_n telles que :

x₀ = 0 et y₀ = 0

x_n+1 = x_n + h y_n+1 = y_n + hf '(x_n).

1°) Justifier que x₀ = 0 et pour tout entier naturel n, x_n+1 = x_n + 0,2.

y₀ = 0 et pour tout entier naturel n,y_n+1 = -0,2y²_n + y_n + 0,8.

2°) a°) Pour tout réel, on pose p(x) = -0,2x² + x + 0,8. Montrer que si x appartient a [0;2] alors p(x) appartient a [0;2].

b°) Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 y_n 2.

c°) Etudier le sens de variation de la suite (y_n).

d°) La suite (y_n) est-elle convergente?

Partie B:

Soit g la fonction définie sur [0;+ [ par g(x) = 2((e^4x-1)/(e^4x+1)), et (C_g) sa courbe représentative.

1°) Montrer que la fonction g verifie les conditions (1) et (2).

2°) a°) Montrer que (C_g) admet une asymptote delta dont on donnera une équation.

b°) Etudier les sens de variations de g sur [0;+ [.

Voila je sais que c'est long mais j'ai vraiment besoin d'aide. Merci d'avance a ceux qui m'aideront.

[elp]

A

1) le pas est 0.2 dc x(n+1)=x(n)+0.2

y(n+1)=f'(x(n))*h+y(n)

ici: f'(x)=4-f(x)² et h=0.2

dc

y(n+1)=[4-f(x(n))²]*0.2+y(n)=[4-y(n)²]*0.2+y(n)

y(n+1)=0.8-0.2y(n)²+y(n)

2)

p(x)=-0.2x²+x+0.8

p'(x)=-0.4x+1

p'(x) >=0 ssi -0.4x+1>=0

ssi 1>=0.4x

ssi 2.5>=x

dc si x est ds [0,2] alors p'(x) positif et p croissante de p(0) à p(2)

p(0)=0.8 et p(2)=2 dc p(x) est ds [0;2].

y(0)=0 dc ds [0;2]

si y(n) ds [0;2] alors en remarquant que y(n+1) =p(y(n)) et en utilisant ce que l'on vient de prouver, on a y(n+1) ds [0;2].

y(n+1)=0.8-0.2y(n)²+y(n)

dc

y(n+1)-y(n)=0.8-0.2y(n)²=0.2[4-y(n)²]=0.2[2-y(n)][2+y(n)]

ce produit est positif car y(n) est ds [0;2]

Y(n) est dc croissante

elle est bornée par 2 dc elle est convergente

B)

g(o)=2(1-1)/(1+1)=0

g(x)=2*(exp(4x)-1)/(exp(4x)+1)

g'(x)=2*[4exp(4x)*(exp(4x)+1)-(exp(4x)-1)(4exp(4x)]/(exp(4x)+1)²=16exp(4x)/(exp(4x)+1)²

4-g(x)²=4-4*(exp(4x)-1)²/(exp(4x)+1)²=[4*(exp(4x)+1)²-4(exp(4x)-1)²]/(exp(4x)+1)²=4(exp(4x)+1+exp(4x)-1)(exp(4x)+1-exp(4x)+1)/(exp(4x)+1)²=

4*2exp(4x)(2)/(exp(4x)+1)²=16exp(4x)/(exp(4x)+1)² on a bien la 2é égalité.

g'(x)=16exp(4x)/(exp(4x)+1)² est toujours positive dc g est croissante