Problème Avec Un Exercice

[Chewing-gum]

Bonjour,

J'ai un gros problème avec un exercice! Merci de m'aider svp.

Le graphique ci après représente, dans un repère orthonormal , la branche d'hyperbole d'équation y=1/x avec x>0.

A est le point de coordonnée (1;-1) et M de coordonnée (x;1/x). Le but est de déterminer s'il existe le point M pour lequel la distance AM est minimale. Voici la suite: http://img508.imageshack.us/my.php?image=dmty9.jpg

Merci de m'aider svp car je n'arrive pas à avancer....

[Barbidoux]

1------------------------------------

AM étant une distance donc une grandeur positive si AM est minimale son carré l’est aussi

2------------------------------------

A{1,-1} M{x,1/x} ==> AM{x-1, 1/x+1} ==> d(x)=AM^2=(x-1)^2+(1/x+1)^2 =(x^2*(x - 1)^2 + (x + 1)^2)/x^2=(x^4-2 x^3+2 x^2+2 x+1)/x^2

3------------------------------------

d’(x)=2*(x^4-x^3-x-1)/x^3

d’(x)=2*(x^4-x*(x^2+1)-1)/x^3 =2*(x^4-1+x*(x^2+1))/x^3

=2*((x^2+1)*(x^2-1)+x*(x^2+1))/x^3=2*(x^2+1)*(x^2-x-1)/x^3

x^2+1 > qq soit la valeur de x, (x^2-x-1 admet deux racines qui sont

x =(1 - 5)/2, x=(1+ 5)/2 et f(x) admet une solution unique dans l’intervalle ] 0 ; [

........................0...........................(1+ 5)/2....................

f’(x)...............................(-)...................(0)...................(+).......

f(x).......................decrois....................Min.................croiss

4------------------------------------

d passe par un minimum pour x=(1+ 5)/2=1,618

5------------------------------------

Le coefficient directeur de AM est (x+1)/(x*(x-1)) celui de la tangente au graphe de y(x)=1/x est -1/x^2 le produit des coefficients directeurs vaut g(x)=-(x+1)/(x^3*(x-1)) et comme g((1+ 5)/2)=-1 on en déduit que si M est lepoint le plus proche de A alors AM est perpendiculaire à la tangente en M à l’hyperbole.

[Chewing-gum]

Merci beaucoup, je vais reprendre tout ça!

[Chewing-gum]

Heu je n'ai pas compris cette factorisation:

d’(x)=2*(x^4-x*(x^2+1)-1)/x^3 =2*(x^4-1+x*(x^2+1))/x^3

=2*((x^2+1)*(x^2-1)+x*(x^2+1))/x^3=2*(x^2+1)*(x^2-x-1)/x^3

Je ne comprend pas pourquoi le - devient + et la dernière ligne je ne vois pas d'où elle vient. merci de m'expliquer svp

[Barbidoux]

Heu je n'ai pas compris cette factorisation:

d’(x)=2*(x^4-x*(x^2+1)-1)/x^3 =2*(x^4-1+x*(x^2+1))/x^3

=2*((x^2+1)*(x^2-1)+x*(x^2+1))/x^3=2*(x^2+1)*(x^2-x-1)/x^3

Je ne comprend pas pourquoi le - devient + et la dernière ligne je ne vois pas d'où elle vient. merci de m'expliquer svp