Nigel Marven Posté(e) le 15 novembre 2008 Signaler Posté(e) le 15 novembre 2008 Bonjour à tous, voilà j'ai ce dm de maths à rendre mardi et vraiment je galère, alors la partie A ça va pas de problème mais à partir de la partie B je décroche, je tourne en rond et de ce fait je n'y arrive pas. Pourait-on m'aider s'il vous plait? Partie A: Etude d'une fonction auxiliaire g La fonction g est définie sur R par: g(x) = (2e^x)+2x-7 1. Etudier les limites de g en - et en + 2. Etudier le sens de variation de la fonction g sur R et dresser son tableau de variation. 3. Justifier que l'équation g(x)=0 admet dans R une solution unique alpha telle que 0,94< alpha< 0,941 4. Etudier le signe de g sur R Partie B: Etude d'une fonction f La fonction f est définie sur R par f(x)=(2x-5)(1-e^-x) On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O;i;j) 1. Etudier le signe de f sur R 2. Etudier les limites de f en + et en - 3. Calculer f'(x), où f' désigne la fonction dérivée de f, et vérifier que f'(x) et g(x) ont le même signe. Dresser le tableau de variation de f. 4.a. Démontrer l'égalité f(alpha)=(2alpha-5)²/(2alpha-7) 4.b. Etudier le sens de variation de h:x-->(2x-5)²/(2x-7) sur l'intervalle ]- ;5/2[ En déduire, à partir de l'encadrement obtenu dans la partie A, un encadrement d'amplitude 10^-2 de f(alpha) 5. Démontrer que la droite D, d'équation y=2x-5, est asymptote à Cf en + Préciser la position de Cf par rapport à D 6.Tracer la droite D et la courbe Cf dans le repère (O;i;j) Partie C: Etude d'une suite de rapports de distances. Pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 3, on considère les points An, Bn et Cn, d'abscisses n, appartenant respectivement à l'axe des abscisses, à la droite D et à la courbe Cf; soit un, le réel défini par un= (CnBn)/(AnBn) 1. Démontrer que pour tout entier n, supérieur ou égal à 3, on a : Un= (2n-5-f(n))/(2n-5) 2.a. Quelle est la nature de la suite (un)? 2.b. Calculer la limite de la suite (un). Pouvait-on prévoir ce résultat?
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 16 novembre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 16 novembre 2008 ------------------------------- Partie A: Étude d'une fonction auxiliaire g La fonction g est définie sur R par: g(x) = (2 e^x)+2x-7 1. Étudier les limites de g en - et en + ------------------------------- lorsque x-> - exp(x) -> 0 et g(x) -> - lorsque x-> + exp(x) -> et g(x) -> ------------------------------- 2. Étudier le sens de variation de la fonction g sur R et dresser son tableau de variation. ------------------------------- g’(x)=2*(1+exp(x)) >0 qq soit x fct croissante de - à ------------------------------- 3. Justifier que l'équation g(x)=0 admet dans R une solution unique alpha telle que 0,94< alpha< 0,941 ------------------------------- f(0,94)=-0,000371 f(0,941)=0,007085 donc puisque q(x) est uniformément croissante et que g(f(0,94)<0 et que f(0,941)>0 cela signifie que le graphe de f(x) couple l’axe des abscisses entre 0,94 et 0,941 et que l'équation g(x)=0 admet dans R une solution unique telle que 0,94< alpha< 0,941 ------------------------------- 4. Étudier le signe de g sur R ------------------------------- f(x)<0 pour x appartenant à ] - ; 0,94] et f(x)>0 pour x appartenant à [0,94; - [ et ------------------------------- Partie B: Étude d'une fonction f La fonction f est définie sur R par f(x)=(2x-5)(1-e^-x) On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O;i;j) 1. Étudier le signe de f sur R ------------------------------- f(x)=(2x-5)(1-exp(-x)) ........................................0..........................5/2................. (2x-5).................(-)...................(-)................(0).......(+) (1-exp(-x)).........(-)..........(0).....(+)..........................(+)..... f(x).....................(+).........(0).....(-)................(0).......(+) ------------------------------- 2. Étudier les limites de f en + et en - ------------------------------- Lorsque x-> f(x) -> (2* -5)*(1- 0) -> Lorsque x-> - f(x) -> (2*( - -5)*(1 -) -> ------------------------------- 3. Calculer f'(x), où f' désigne la fonction dérivée de f, et vérifier que f'(x) et g(x) ont le même signe. Dresser le tableau de variation de f. ------------------------------- f’(x)=exp(x)*(2*exp(x)+2*x-7) du signe de f(x) car exp(x) >0 qq soit x ........................................0,94 0,941............... f’(x)............(-)..........................0 ............(+) f(x)........decroiss.....................Min.........croiss.... ------------------------------- 4.a. Démontrer l'égalité f(alpha)=(2*alpha-5)^2/(2*alpha-7) ------------------------------- On pose a = alpha f(a)=(2*a-5)(1-exp(-a))=(2*a-5)^2/(2*a-7) On suppose a 5/2 ==>(1-exp(-a))=(2*a-5)/(2*a-7) ==> 1-exp(-a)=(2*a-7+2)/(2*a-7) ==> 1-exp(-a)=1+2/(2*a-7) == > -exp(-a)=2/(2*a-7) et a 7/2 ==> 2*exp(a)+2*a-7=0 ce qui est vérifié puisque a= alpha est solution de g(x) = 2*e^x+2x-7 ------------------------------- 4.b. Étudier le sens de variation de h:x-->(2*x-5)^2/(2*x-7) sur l'intervalle ]- ;5/2[ ------------------------------- h’(x)=(8*x^2-56*x+90)/(7-2*x)^2 Le polynôme 8*x^2-56*x+90 admet deux racines x=5/2 et x=9/2 .........................(5/2)..................(7/2)...................(9/2)............. h’(x).....(+)..........(0)........(-)..........||..........(-)...........(0).....(+)... h(x)....crois.........Max.....decrois.....||......decrois......Min......crois.. ------------------------------- En déduire, à partir de l'encadrement obtenu dans la partie A, un encadrement d'amplitude 10^-2 de f(alpha) f(0,94)=-1,9012 f(0,941)=-1,8995 ------------------------------- 5. Démontrer que la droite D, d'équation y=2x-5, est asymptote à Cf en + ------------------------------- h(x)=(4*x^2-20*x+25)/(2*x-7)=2*x-3+4/(2*x-7) Lorsque x-> h(x) =2*x-3 -> et la droite d’équation y=2*x-3 est une asymptote au graphe de h(x). Là je pense qu’il y a une erreur d’énoncé. ------------------------------- Préciser la position de Cf par rapport à D ------------------------------- comme 4/(2*x-7)>0 le graphe de h(x) tend vers la droite d’équation y=2*x-3 par valeurs >0 et lorsque x-> h(x) est situé au dessus de cette droite. ------------------------------- 6. Tracer la droite D et la courbe Cf dans le repère (O;i;j) ------------------------------- ------------------------------- Partie C: Étude d'une suite de rapports de distances. Pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 3, on considère les points An, Bn et Cn, d'abscisses n, appartenant respectivement à l'axe des abscisses, à la droite D et à la courbe Cf; soit un, le réel défini par un= (CnBn)/(AnBn) 1. Démontrer que pour tout entier n, supérieur ou égal à 3, on a : Un= (2n-3-f(n))/(2n-3) ------------------------------- An{n,0} Bn{n, 2*x-3} Cn{n,f(n)} CnBn=2*n-3-f(n) AnBn=2*n-3 ==> Un=(2n-3-f(n))/(2n-3) ------------------------------- 2.a. Quelle est la nature de la suite (un)? ------------------------------- f(n)=2*n-3+4/(2*n-7) ==> (2n-3-f(n))=-4/(2*n-7) ==> Un=(2n-3-f(n))/(2n-3)=-4/((2*n-7) *(2*n-3) U(n+1) > Un ==> Un est une suite croissante ------------------------------- 2.b. Calculer la limite de la suite (un). Pouvait-on prévoir ce résultat? ------------------------------- Un->0 lorsque n-> infini ------------------------------- Pouvait-on prévoir ce résultat? ------------------------------- oui car le numérateur de ma suite est la différence d’ordonnée entre l’ asymptote de f(n) et f(n) divisé par f(n) lorsque n->
Nigel Marven Posté(e) le 16 novembre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 16 novembre 2008 Excellent merci beaucoup je relis tout ça et je vois si j'ai compris, merci beaucoup et bonne continuation
Messages recommandés
Archivé
Ce sujet est désormais archivé et ne peut plus recevoir de nouvelles réponses.