Exo De Dm De Ts

[valbuenadu62]

salut a tous voila il me reste cet exo a faire pour finir mon dm mais jarrive pas le faire, donc sa serai vrément sympa si vous pouviez m'aider. Voila l'enoncé:

On definit, pour tout entier naturel n>0, la suite (U_n) de nombres reels strictement positifs par : U_n = n²/2exposant n.

1) Pour tout entier naturel n>0, on pose V_n = U_n+1 / U_n .

a°) Montrer que la limite de V_n quand n tend vers + est egale a 1/2. (sa je l'ai fait).

b°) Montrer que pour tout entier naturel n>0, V_n > 1/2. ( la je l'ai fé avec la recurrence mais je bloque).

c°) Trouver le plus petit entier naturel N tel que, si n N, V_n < 3/4. En deduire que si n N alors U_n+1 < (3/4) U_n.

2) On se propose de montrer que la suite (S_n)_{n 5} est convergente.

a°) Montrer par recurrence que pour tout entier naturel n 5 : U_n (3/4)exposant (n-5) * U₅.

b°) Montrer que pour tout entier naturel n 5 , S_n [ 1+(3/4)+(3/4)²+....+(3/4)exposant(n-5)]*U₅.

c°) En deduire que pour tout entier naturel n 5 , S_n 4*U₅ .

3) Montrer que la suite (S_n)_{n 5} est croissante et en deduire qu'elle converge.

Voila selon le prof sa doit pas etre long mais bon c'est un prof.

Donc merci d'avance pour ceux qui m'aideront.

[Nigel Marven]

Bonjour, quelqu'un aurait-il une idée? J'ai le même DM et vraiment je ne comprend pas non plus

[elp]

1)a)

v(n)=u(n+1)/u(n)=[(n+1)²/(2^n+1)]*[(2^n)/n²]=[(n+1)²/n²]*(1/2)=(n+1)²/2n²=1/2+1/n+1/2n² td vers 1/2 qd n td vers +00

1)b)

v(n)-1/2^=(n+1)²/2n²-1/2=[(n+1)²-n²]/2n²=(2n+1)/2n² qui est strictement positif dc v(n) >1/2

1)c)

v(n)<3/4

(n+1)²/2n²<3/4

4(n+1)²<6n²

4n²+8n+4<6n²

-2n²+8n+4<0

-n²+4n+2<0

il faut résoudre cette inéquation (on calcule delta etc...)

on trouve que si n>=5 alors v(n)<3/4

v(n)<3/4 dc u(n+1)/u(n)<3/4 et u(n+1)<(3/4)*u(n) car u(n)>0

2)a)

pour hérédité

si u(n)<((3/4)^(n-5))*u(5) alors

(3/4)u(n)<((3/4)^(n-5+1))*u(5)

t comme u(n+1)<(3/4)*u(n) on a bien

u(n+1)<((3/4)^(n+1)-5)*u(5)

je suppose que s(n)=u(5)+u(6)+....u(n) ? (tu ne le dis pas ds l'énoncé)

on utilise l'inégalité démontrée au dessus

s(n)<u(5)+(3/4)u(5)+...................(3/4)^(n-5)*u(5)=u(5)[1+(3/4)+(3/4)²+.......(3/4)^(n-5)]

entre les crochets tu as la somme de termes d'une progression géom de raison (3/4), somme que tu sais calculer.(c'est (1-(3/4)^(n-4))/(1-3/4)

on a s(n)<u(5)*(1-(3/4)^(n-4))/(1/4)<4*u(5)*[1]

n>=5

s(n) est croissante de façon évidente (on ajoute à chaque fois un nouveau terme positif) et comme elle est majorée par 4*u(5), elle est convergente.

[valbuenadu62]

merci bocoup pr ton aide

[Nigel Marven]

Je dirais même plus: merci beaucoup de ton aide elp