Maths Terminale S

[Dringdong]

Alors tout d'abord Bonjour !!

Je vous contacte parce que je bloque sur mes exos de maths à faire pendant les vacances ....

Les voici :

Exo 1 :

On considère la suite (un) définie par uo=1 et pour tout n Є N

un+1= Racine( 3un+4)

1)Démontrer que pour tout nЄN 1≤un≥4 et que la suite (un) est croissante .Que pouvez en déduire ?

2)Déterminer la limite de la suite (un)

Pour la 1 j'ai fait raisonnements par récurrence mais je ne sais pas si c'est la meilleure facon de faire ....

Pour la déduction , j'ai déduis que la suite (un) est croissante et converge vers un réel l £{1;4}

Exo 2 :

On pose pour n ≥ 1

un= 1 + 1⁄1! + 1⁄2! +....+1⁄n!

et vn=un + 1⁄nxn!

1) Vérifier que u1=2 et que v1= 3.

Calculer u2,u3,v2 et v3.

2)Montrer que (un) est strictement croissante et que (vn) est strictement décroissante .

3) Etudier lim quand n tend vers + l'infinie de 1⁄nxn!

En déduire que les suites (un) et (vn) sont adjacentes .

4a) On suppose que les suites (un) et (vn) convergent vers le nombre e d'euler ( e=2,718 arrondi à 10 exposant -3 près )

Formulons l'hypothèse que e est rationnel , c'est a dire qu'il existe deux entiers naturels p et q tels que e=p⁄q

4) En utilisant les résultats de la question 3) justifier que uq<p⁄q<vq

En déduire que l'entier N=pq! - qq! Vérifie 0<N<1

4b) Conclure que e est un nombre irrationnel .

J'espère avoir un minuscule coup de pouce !!

Merci de votre aide !!!

[Lilibb]

Tu bloques sur quelle partie de ton exo??

[Dringdong]

Je bloque complétement pour l'exercice 2 ....

Merci de m'aavoir répondu !!

[Dringdong]

Je bloque complétement pour l'exercice 2 ....

Merci de m'aavoir répondu !!

[elp]

ex 2

1) je te laisse les calculs

2)u(n+1)-u(n)=1+1/1!+1/2!+....1/(n+1)!-1-1/1!-1/2!....-1/n!=1/(n+1)! dc positif dc u strictement croissante

on remarque que v(n)=u(n)+1/n*n!

v(n+1)-v(n)=u(n+1)+1/[(n+1)*(n+1)!]-u(n)-1/[n*n!]=u(n+1)-u(n)+1/[(n+1)*(n+1)!]-1/[n*n!]=1/(n+1)!+1/[(n+1)*(n+1)!]-1/[n*n!]=

1/(n+1)!+1/[(n+1)*(n+1)!]-1*(n+1)!/[n*n!*(n+1)!]=1/(n+1)!+1/[(n+1)*(n+1)!]-(n+1)/[n*(n+1)!]=

[n(n+1)+n-(n+1)(n+1)]/[n*(n+1)*(n+1)!]=-1/[n(n+1)(n+1)!] c'est négatif dc v strictement décroissante

3)v(n)-u(n)=1/n*n! tend vers 0 qd n tend vers +00

tu as ce qu'il faut pour tes suites adjacentes

4) u croit vers sa limite dc u(q)<p/q tandis que v décroit vers cette limite dc v(q)>p/q

on a dc u(q)<p/q<v(q)

Aprés j'ai fait :(je ne fais pas comme ds ton énoncé avec ton nombre N ?)

u(q)<p/q<u(q)+1/(q*q!)

0<p/q-u(q)<1/(q*q!)

0<p-qu(q)<1/q! (car q est positif)

0<pq!-qq!u(q)<1

u(q)=1+1/1!+1/2!+....1/q!

q!*u(q)=q!+q!/1!+q!/2!+q!/3!.....+q!/q!

chacun des termes de cette somme est un entier dc la somme est un entier et pq!-q*q!*u(q) est un entier qui serait compris strictement entre 0 et 1, ce qui est impossible dc p et q n'existent pas