Dm De Math

[nasridu62]

salut a tous voila il me reste cet exo a faire pour finir mon dm mais jarrive pas le faire, donc sa serai vrément sympa si vous pouviez m'aider parce que la je patoge^^. Voila l'enoncé:

On définit deux suites (Un) et(Vn) pour tout entier naturel n :

U₀ = 3 V₀ = 4

U_n+1 = (U_n+V_n)/2 V_n+1 = (U_n+1 + V_n)/2

1) On appelle (Wn) la suite definie pour tout entier naturel n par: W_n = V_n - U_n.

a°) Montrer que (Wn) est la suite geometrique de raison 1/4. (sa j'ai trouvé W_n+1 =V_n-U_n et je trouve pas mon erreur).

b°) Exprimer Wn en fonction de n et préciser la limite de la suite (Wn).

2) Après avoir étudié le sens de variation des suites (Un) et (Vn), demontrer que ces suites sont adjacentes.

Que peut on en deduire?

3) On appelle (tn) la suite définie pour tout entier naturel n par: t_n =(U_n+2V_n)/3.

a°) Montrer que (tn) est une suite constante. Déterminer cette constante.

b°) Déterminer alor la limite des suites (Un) et (Vn).

Voila selon le prof sa doit pas etre long mais bon c'est un prof.

Donc merci d'avance pour ceux qui m'aideront.

[elp]

1

pour tout n de N

w(n)=v(n)-u(n)

w(n+1)=v(n+1)-u(n+1)=(1/2)[u(n+1)+v(n)-u(n)-v(n)]=(1/2)[u(n)/2+v(n)/2-u(n)]=(1/2)[v(n)/2-u(n)/2]=(1/4)[v(n)-u(n)]=(1/4)*w(n)

tu arrive à une suite géom de raison (1/4) de 1er terme w(0)=v(0)-u(0)=4-3=1

tu montreras facilement que w(n)=(1/4)^n et la limite est 0 qd n tend vers +00

dc v(n)-u(n) td vers 0 qd n td vers +00

_________________________

2 pour tout n

u(n+1)-u(n)=u(n)/2+v(n)/2-u(n)=v(n)/2-u(n)/2=w(n)/2 est positif dc u croissante

v(n+1)-v(n)=u(n+1)/2+v(n)/2-v(n)=u(n+1)/2-v(n)/2=u(n)/4+v(n)/4-v(n)/2=u(n)/4-v(n)/4=-w(n)/4 est négatif dc v décroissante

en utilisant cela et le résultat du 1, tu as tes suites adjacentes.

___________________________________

3 pour tout n

t(n+1)-t(n)=(1/3)[u(n+1)+2v(n+1)-u(n)-2v(n)]=(1/3)[u(n+1)-u(n)+2v(n+1)-2v(n)]

on utilise les résultats du 2 et on a (1/3)[w(n/2)+2(-w(n)/4)]=(1/3)[w(n/2)-w(n)/2]=0

t(n+1)=t(n) dc t constante

t(0)=(1/3)(3+2*4)=11/3

si l limite de u et v alors (1/3)[l+2l]=11/3

3l=11

l=11/3