Fonction Périodique

[Lily.]

Bonsoir à tous!

D'abord j'espère que vous passez de bonnes vacances =)

J'ai un petit problème mathématique, pas très très difficile mais je bloque complètement aux dernières questions..

Voici l'énoncé :

Soit f définie par f(x)= x²(2-x)

1) Tracer [...] sur [0;2]

Pour tout x de [0;2], on pose f(x+2) = f(x). On définit ainsi la fonction f sur l'intervalle [2;4]

2) En déduire la représentation graphique de f sur [2;4]

3) Calculer f(0,5), en déduire f(2,5)

4) Démontrer que pour tout x de [2;4], f(x) = (x-2)²(4-x)

5) Etudier la dérivabilité et la continuité de f en 2.

6) On étend la définition de f: pour tout réel x, f(x+2) = f(x)

7) Que vaut f(10,5)?

8) Soit x un réel quelconque. Démontrer que pour tout entier naturel n, f(x+2n) = f(x). En déduire

que pour tout entier négatif p, f(x+2p)= f(x)

9) Comment peut-on tracer la représentation graphique de f sur |R?

10) Démontrer que pour tout n de Z,

si x appartient à [2n;2n+2], alors f(x)= (x-2n)²(2n+2-x)

11) Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur [0;+oo[

Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait vraiment gentil.. Merci d'avance!

[elp]

pour la 10 tu peux faire une démo par récurrence.

je te montre la voie pour l'hérédité

supposons que pour x ds [2n;2n+2] on a f(x)=(x-2n)²(2n+2-x)

x+2 est alors ds [2n+2; 2n+2+2]=[2(n+1);2(n+1)+2]

de plus:

f(x+2)=f(x)=(x-2n)²(2n+2-x)=(x+2-2-2n)²(2n+2-x-2+2)=[(x+2)-2(n+1)]²[2(n+1)+2-(x+2)]

en posant z=x+2 on a bien f(z)=[z-2(n+1)]²(2(n+1)+2-z]

cela démontre l'hérédité

[Lily.]

Merci beaucoup!

Est-ce que, pour la question 8, ce raisonnement est acceptable? :

Supposons que pour tout entier naturel n, f(x+2n) = f(x)

Posons X=(x+2n)

Comme on a f(x+2) = f(x) pour tout réel x,

on a alors f(X+2) = f(X)

donc f(x+2n+2) = f(x+2n) = f(x) ..?

Et est-ce que ce serait exactement le même raisonnement pour les entiers négatifs ?

[elp]

Supposons que pour tout entier naturel n, f(x+2n) = f(x)

Posons X=(x+2n)

Comme on a f(x+2) = f(x) pour tout réel x,

on a alors f(X+2) = f(X)

donc f(x+2n+2) = f(x+2n) = f(x) ..?

oui et comme tu peux écrire f(x+2n+2) ss la forme f(x+2(n+1)) tu as l'égalité à l'ordre (n+1)

f(x+2n) = f(x)

en posant X=x+2n, on a x=X-2n et f(X)=f(X-2n)=f(X+2(-n))

[Lily.]

Merci Elp =)

Bonne journée!