Dm Ts

[nilo71]

Bonsoir a tous,

j n arrive pas a repondre a toutes les questions de ce DM de maths pouvez vous m aider, merci d avance

soit f la fonction definie sur R par f(t)=(1-sin²t)/(2+sint)

1)pour tout nombre reel t, montrer que: f(pi-t)=f(t)

expliquer comment l etude des variations de la restriction de f a [-pi/2;pi/2] permet de construire la courbe representative de f

f(pi-t)=(1-sin²(pi-t))/(2+sin(pi-t))

comme sin(pi-x)=sin(x)

alors f(pi-t)=(1-sin²t)/(2+sint)=f(t)

en effectuant des translations on peut construire la courbe (je ne suis pas sur et je pense qu il faut prouver)

2) a- on pose a= 3-2. justifier existence et l unicité de t0 appartint a [-pi/2;pi/2] tel que sin(to)=a

je pense qu il faut utiliser le theoreme des valeurs intermediaires , mais comment prouver que la fonctions est strictement monotone?

b- montrer que, f est croissante sur [-pi/2;to], puis decroissante sur [to;pi/2]

c- soit f', la derivee de f. pour tout nombre reel t, pruver l egalite: f'(t)=f'(sint)cost

notre prof nous a donner comme indication: f(t)=f(sint), mais je ne comprends pas comment il est passe par la

donc la derivee: f'(t)=f'(g(t))g'(t) avec g(t)=sint

f'(t)=f'sint)cost

merci d avoir prete attention a mon probleme!

[elp]

1) ok

t--->-t (symétrie / y'y) puis -t---->-t+pi (translation de vecteur V(pi,0)

on a la courbe de -pi/2 à 3pi/2

ensuite en remarquant que f est périodique de période 2pi, on obtient toute la courbe

sur R

pour le 2) tu as raison mais c'est avec g(t)=sin(t) qu'il faut utiliser le th des valeurs intermédiaires sur [-pi/2 pi/2] sin(t) est strictement croissante de -1 à +1 et 2-rac(3) est ds cet intervalle dc ça va aller

pour le 3)

f'(t)=[(-2sintcost)(2+sint)-(1-sin²t)(cost)]/(2+sint)²=[-4sintcost-2sin²tcost-cost+sin²tcost)/(2+sint)²=[-cost-sin²tcost-4sintcost]/(2+sint)²

f'(t)=[-cost(1+sin²t+4sint)]/(1+sint)²

le déno est positif

ds [-pi/2 pi/2]: -cost est négatif

sin²t+4sint+1=(sint+2+rac(3))(sint+2-rac(3)) (il faut étudier y²+4y+1, calculer son delta etc...)

sint+2+rac(3) est tjs positif

sint+2-rac(3) est égal à 0 qd sint=rac(3)-2 et c'est ici que l'on utilise le résultat du 2 ! (nég avant et pos après)

je te laisse faire le tableau de variations

pour la dernière on dérive f en prenant pour variable sint et on multiplie par la dérivée de sint en prenant comme variable t

f'(t)=f'(sin(t))*cost

[nilo71]

merci beaucoup