Devoir Tle S Equation Diff

[Jack.]

Bonjour voilà, c'est mon devoir sur les equa/diff j'aimerai bien avoir de l'aide puisqu'ayant loupé pas mal de cours j'suis largué :/

J'vous remercie beauoup !!

[elp]

1)a)

s'il existe a tel que f'(a)=0 alors

[f'(a)]²-[f(a)]²=1 entraine 0-[f(a)]²=1 dc [f(a)]²=-1 ce qui est impossible puisque qu'un carré est toujours positif.

dc pour tout x, f'(x) est non nul

b)

f'(0)²-f(0)²=1

1²-f(0)²=1

f(0)=0

2)

en dérivant (pour tout x de R)

2f'(x)f''(x)-2f'(x)f(x)=0

2f'(x)[f''(x)-f(x)]=0

comme f'(x) n'est jamais nul, on a f''(x)-f(x)=0 dc f''(x)=f(x)

3)

a)

u(0)=f(0)+f'(0)=0+1=1

v(0)=f'(0)-f(0)=1-0=1

b)

u'=f"+f'=f+f' (car f"=f d'après le 2) dc u'=u

v'=f"-f'=f-f'=-(f'-f)=-v

c)

u'=u

u'=1*u

u(x)=k*exp(1*x) (c'est du cours; l'ensemble des solutions de y'=ay est l'ensemble des fonctions de la forme y=k*exp(ax))

comme u(0)=1, on a 1=k*exp(0)=k*1 dc k=1 et u(x)=exp(x)

v'=-v

on fait pareil et on trouve v(x)=-exp(x)

d)

u=f'+f

-v=-f'+f

u-v=f'+f-f'+f=2f

f=(u-v)/2

f(x)=[exp(x)-exp(-x)]/2

e)

si x -->+00 alors exp(x) -->+00 et exp(-x)-->0

si x-->-00 alors exp(x) -->0 et exp(-x) --> +00

il est maintenant facile de trouver les limites de f

le reste est simple

bonne fin d'exercice.