Fonction Exponentielle

[Serial-Killeuse]

Bonjour bonjour, j'ai l'exercice suivant à faire, pouvait m'aider ?

On considère la fonction f définie sur [-1;1] par

f(x)=2e^x + ax+b

On note C sa représentation graphique dans un repère orthonormal d'unité graphique 2cm.

a)Déterminer les réels a et b pour lesquels:

-la courbe C passe par l'origine O;

-la tangente à la courbe C en O a pour coefficient directeur 3.

Ca a déjà été fait:

-La courbe passe par l'originie si et suelement si f(O)=0.

f(0)=2e^0+0a+b=2+b

2+b=0

b=-2

-oncalcule f'(x):

f'(x)= 2e^x+a

f'(0)=2+a et c'est le coeff directeur de la tangente à lorigine

2+a=3

a=1

b) on prendra pour la suite de l'exo

f(x)=2e^x+x-2

Déterminer f'(x)

en déduire le sens de variation de f

f'(x)= 2e^x + 1 (?)

puisque dérivée de ex est ex et dérivée (u+v)'=u'+v' donc x-2 il reste 1 (dérivée de x=1)

c) Etudier le signe de e^x - (x+1)

je calcule la drivé de ex c'est ex

dérivée de -x+1 = -1

(ex)'= ex -1

après les limites mim de ex qd x tend vers + linfini = +linfini

lim de ex qd x tend vers -linfini c'est 0

lim -x quand -x tend vers +linfini = - linfini

Forme indéterminée donc on met en facteur terme de plus haut degrè ex=(1-x/ex+1/ex) (?)

d)Déterminer l'équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.

y= f'(0) (x-0) + f(0) ??

mais comment je fais?

e) étudier la position relative de C par rapport à T

f) Tracer courbe C (ça je sais faire)

Merci beaucoup !

[Barbidoux]

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On considère la fonction f définie sur [-1;1] par

f(x)=2e^x + ax+b

On note C sa représentation graphique dans un repère orthonormal d'unité graphique 2cm.

a)Déterminer les réels a et b pour lesquels:

-la courbe C passe par l'origine O;

-la tangente à la courbe C en O a pour coefficient directeur 3.

Ca a déjà été fait:

-La courbe passe par l'originie si et suelement si f(O)=0.

f(0)=2e^0+0a+b=2+b

2+b=0

b=-2

-oncalcule f'(x):

f'(x)= 2e^x+a

f'(0)=2+a et c'est le coeff directeur de la tangente à lorigine

2+a=3

a=1

Ceci est correct et l’expression de f(x) est f(x)=2e^x+x-2

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b) on prendra pour la suite de l'exo

f(x)=2e^x+x-2

Déterminer f'(x) en déduire le sens de variation de f

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f'(x)= 2e^x + 1 >0 quelque soit x et la fonction f(x) est uniformément croissante sur son intervalle de définition.

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c) Etudier le signe de g(x)=e^x - (x+1)

g’(x)=e^x-1 ==> g’(x) <0 pour x<0 (décroissante), g’(x)=0 pour x=0 (passe par un minimum) et g’(x)>0 pour x>0 (croissante)

Lorsque x-> - g(x) -> =0⁺ -( +1) -> +

Lorsque x-> - e^x >> x et g(x) e^x -> +

Donc g(x)=e^x - (x+1) >0 sur son intervalle de définition (g(x) décroît de à 0 sur l'intervalle ] - , 0] et croît de 0 à ;infini; sur l'intervalle [0 , [) .

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d) Déterminer l'équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.

C’est déjà presque fait. Au debut il est ecrit “la tangente à la courbe C en O a pour coefficient directeur 3” donc son équation est de la forme y=3*x+b et comme elle passe par O{0,0} ==> b=0 son équation est y=3*x

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e) étudier la position relative de C par rapport à T

f(x)-y=2e^x+x-2-3*x = 2e^x-2*x-2=2*(e^x - (x+1))=2*g(x) >0 sur son intervalle de définition et f(x) est situé au dessus de f(x)

f) Tracer courbe C

[Serial-Killeuse]

Ok d'accord.

Le seul porlbème c'est que pour répondre à la question b) je dois faire un tableau de signe et de variation avec les limites comme pour la question c) aussi.

Donc pour la b), Df= R

pouvez vous me dire si mes cacule de limites sont bons.

avec f(x)=2e^x+x-2

lim e^x quand x tend vers -linfini =0

lim 2e^x qund x tend vers -linfini=0

lim de x quand x tend vers -linfini = -linfini

lim de x-2 quand x tend vers -linfini = -linfini

donc qd x tend vers - linfini alors f(x) tend vers -linfini

lim e^x qd x tend vers +linfini=+linfini

lim 2e^x qd x tend vers +linfini = +linfini

lim de x qd x tend vers +linfini = +linfini

lim x-2 qd x tend vers + linfini = linfini

donc lim f(x) qd x tend vers +linfini = +linfini

dc fonction est croissante de -linfini à +linfini

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pour la question c il faut aussi que je fasse un tableau ac le signe de la dérivé et la variation de la fonction en remplissant avec les limites...

pouvez vous maider?

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pour la courbe quand je la trace sur ma calculatrice je ne trouve pas la même que vous... est-ce normal?

Merci beaucoup!

[Barbidoux]

Ok d'accord.

Le seul porlbème c'est que pour répondre à la question b) je dois faire un tableau de signe et de variation avec les limites comme pour la question c) aussi.

Donc pour la b), Df= R

pouvez vous me dire si mes cacule de limites sont bons.

avec f(x)=2e^x+x-2

lim e^x quand x tend vers -linfini =0

lim 2e^x qund x tend vers -linfini=0

lim de x quand x tend vers -linfini = -linfini

lim de x-2 quand x tend vers -linfini = -linfini

donc qd x tend vers - linfini alors f(x) tend vers -linfini

lim e^x qd x tend vers +linfini=+linfini

lim 2e^x qd x tend vers +linfini = +linfini

lim de x qd x tend vers +linfini = +linfini

lim x-2 qd x tend vers + linfini = linfini

donc lim f(x) qd x tend vers +linfini = +linfini

dc fonction est croissante de -linfini à +linfini

[Serial-Killeuse]

Ok je vais rependre tout cela et je vous dit quoi.

Pour la coubre: oui j'ai bien écrit 2e^x+x-2

Ma courbe à moi n'est pas négative, elle est toujours positive, elle décroit en ]-linfini;0[ et croit en ]0;+linfini[

[Barbidoux]

Ok je vais rependre tout cela et je vous dit quoi.

Pour la coubre: oui j'ai bien écrit 2e^x+x-2

Ma courbe à moi n'est pas négative, elle est toujours positive, elle décroit en ]-linfini;0[ et croit en ]0;+linfini[

[Serial-Killeuse]

C'est bon j'ai trouvé la même courbe que vous!

Maitenant c'est avec la tangente que jai un problème parceque l'équation d'une tangente c'est y=f'(a)*(x-a)+f(a)

donc si je remplace j'ai

f'(0)*(x-0)+f(0)

1*x-0+3

1*x+3

y=3+x

Ensuite, la limite de g(x) quand x tend vers +l'infini, je trouve un forme indéterminée car:

lim de e^x qd x tend vers +linifni = +linfini

lim de -x qd x tend vers +linfini = -linfini

lim -x+1 qd x tend vers+linfini = -linfini

donc ça fait +linfini -linfini => FI

je mets le terme de plus haut degrè en facteur:

e^x(1-x/e^x+1/e^x) ?

je refais le raisonnement

lim de e^x qd x tend vers +linfini = +linfini

lim de x/e^x qd x tend vers + linfini ici ça fait +infini/+infini (donc encore une FI non?) dc je n'arrive pas à continuer...

lim de 1/e^x qd x tend vers +linfini = 0+

donc la limite de g(x) qd x tend vers +linfini c'est quoi ?

Merci beaucoup!

[Serial-Killeuse]

J'oubliais!

pour tracer ma courbe, je prends une unité graphique de 2cm donc tout les 2 cm je mets les chiffres 1-2-3-4 etc... le problème c'est que avec ma calculatrice je sors le tableau de valeur avec 1 ça marche x=1 y=4.4 avec 2 x=2 et y=14 mais avec 3 ça monte tout de suite à 41! donc comment je pourrais my prendre pour tracer correctement ma courbe?

[Barbidoux]

C'est bon j'ai trouvé la même courbe que vous!

Maitenant c'est avec la tangente que jai un problème parceque l'équation d'une tangente c'est y=f'(a)*(x-a)+f(a)

donc si je remplace j'ai

f'(0)*(x-0)+f(0)

1*x-0+3

1*x+3

y=3+x

[Serial-Killeuse]

Ok d'accord.

Mais je comprends pas, ça doit tendre automatiquement vers + ou - linfini pas linfini tout court...:s

[Barbidoux]

Ok d'accord.

Mais je comprends pas, ça doit tendre automatiquement vers + ou - linfini pas linfini tout court...:s

[Serial-Killeuse]

Oups oui d'accord! J'ai compris

Merci beaucoup !!!