Aide Exercice

[Allezlelosc_59]

Bonjour à tous,

J'ai besoin de votre aide pour un exercide de mathématiques

Le voici :

1.a. Déterminer un polynôme P du second degré tel que l'on ait, pour tout réel x :

P(x+1) - P(x) = x

-> Il faut donc arriver à une forme de type ax²+ bx+c. Mais comment faire ?

b. Ecrire l'égalité précédente pour x=1, x=2,... x=n

->J'imagine qu'il faut remplacer x par 1, x par 2 en partant de l'équation trouvée précédemment. Mais comment faire pour "n" ?

c. En déduire la somme S1 = 1 + 2 +...+n

-> Alors là je n'ai aucune idée de ce qu'il faut faire...

2.a. Déteriminer un polynôme Q du troisième degré tel que l'on ait, pour tout réel x :

Q(x+1) - Q(x) = x²

-> J'imagine que cela doit être la même méthode que le 1.a

b. En déduire S2 = 1²+2²+...+n²

-> J'imagine que cela doit être la même méthode que le 1.c

Voilà, je vous remercie d'avance et vous souhaite un très bon dimanche !

[elp]

pour le début

p(x)=ax²+bx+c

p(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c

p(x+1)-p(x)=a(x+1)²+b(x+1)+c-ax²-bx-c=a(x²+2x+1)+b(x+1)+c-ax²-bx-c=a(2x+1)+b=2ax+a+b

on veut 2ax +a+b=x pour tout x

on a dc 2a=1 et a+b=0 dc a=1/2 et b=-1/2

p(x)=0.5x²-0.5x+c c étant quelconque

on utilise p(x+1)-p(x)=x

p(2)-p(1)=1

p(3)-p(2)=2

p(4)-p(3)=3

....

...

p(n+1)-p(n)=n

on ajoute membres à membres

on obtient à gauche p(n+1)-p(1)

on obtient à droite 1+2+3+....+n

dc S1=p(n+1)-p(1)=0.5(n+1)²-0.5(n+1)+c-0.5*1²+0.5-c=0.5[n²+2n+1-n-1-1+1)=0.5(n²+n)=n(n+1)/2

tu as la même méthode à utiliser pour le 2

[Allezlelosc_59]

Salut,

Tout d'abord merci !

J'ai très bien compris le début, jusqu'au petit b...

En effet, tu pars de P(x+1) - P(x) = x

Mais P(2) - P (1) => P (3) - P(1) = 2 non ?

Merci de me dire comment tu fais pour arriver à 1

Bonne soirée

[Allezlelosc_59]

Salut,

Tout d'abord merci !

J'ai très bien compris le début, jusqu'au petit b...

En effet, tu pars de P(x+1) - P(x) = x

Mais P(2) - P (1) => P (3) - P(1) = 2 non ?

Merci de me dire comment tu fais pour arriver à 1

Bonne soirée

[Allezlelosc_59]

Désolé du triple post (y'a pas de fonction éditer), mais je n'ai pas compris pour la somme

[elp]

p(2)-p(1)=1

p(3)-p(2)=2

p(4)-p(3)=3

....

...

p(n+1)-p(n)=n

si tu ajoutes tout ce qui est à gauche, tu obtiens:

p(2)-p(1)+p(3)-p(2)+p(4)-p(3)+p(5)-p(4)....... etc

les termes s'éliminent 2 par 2 et il reste -p(1) et +p(n+1)

c'est égal à la somme des termes de droite: 1+2+3+....+n

[Allezlelosc_59]

Grand merci!

J'en suis maintenant au petit deux, voici mon raisonnement, je suis bloqué au moment du développement d'une expression au cube :

Q (x+1) - Q(x) = a(x+1)^3 + b (x+1)² + c(x+1) + d - ax^3 -bx² -cx -d

Comment passer à l'étape suivante ?

Merci

[elp]

Q (x+1) - Q(x) = a(x+1)^3 + b (x+1)² + c(x+1) + d - ax^3 -bx² -cx -d=

a(x^3+3x²+3x+1)+b(x²+2x+1)+c(x+1)+d-ax^3-bx²-cx-d=

ax^3+3ax²+3ax+a+bx²+2bx+b+cx+c+d-ax^3-bx²-cx-d=

3ax²+(3a+2b)x+a+b+c

on veut que ça soit égal à x² pour tout x dc il faut et il suffit que :

3a=1

3a+2b=0

a+b+c=0

on trouve a=1/3; b=-1/2 et c=1/6. d est quelconque.

q(x)=(1/3)x^3-(1/2)x²+(1/6)x+d

ensuite tu fais comme pour p(x)