Exercice Suites Et Récurrence

[Lily.]

Bonjour à tous !

Je bloque à la deuxième question de cet exercice et j'aurais besoin d'un p'tit coup de main :

(Xn) est la suite définie par X0=1 et pour tout entier naturel n, Xn+1 = 1 / (1+Xn) .

2/ On note b= (-1+ V5)/2

a) Vérifier que b= 1/(b+1) et X0>b => Est-ce possible?

B) Démontrer que pour tout n de |N: si Xn>b alors Xn+1<b.

c) Démontrer que pour tout n de |N: si Xn<b alors Xn+1>b.

d) Vérifier que pour tout n de |N, Xn+2 = (1+Xn)/(2+Xn). => J'ai réussi celle-ci, mais je ne comprends pas les questions avant.

Merci d'avance...

[elp]

b=(-1+rac(5))/2

b+1=(-1+rac(5))/2+2/2=(1+rac(5))/2

1/(b+1)=1/[(1+rac(5))/2]=2/[1+rac(5)]=2*[1-rac(5)]/[1+rac(5)]*[1-rac(5)]=2*[1-rac(5)]/[1-5]=2*[1-rac(5)]/(-4)=(-1+rac(5))/2=b

on a bien 1/(b+1)=b

X0=1 et b environ égal à 0.618.. dc X0>b (sinon calculer 1-b =1+1/2-rac(5)/2=(3-rac(5))/2 = nbre positif car 3>rac(5))

si Xn >0 alors 1+Xn>0 et 1/(1+Xn) >0 dc X(n+1)>0

X0 étant positif, tous les X(n) le sont

si X(n)>b

alors 1+X(n)>1+b

et 1/(1+X(n)<1/(1+b) dc X(n+1)<b (en utilisant ce que l'on a montré avant pour b et 1/(b+1) ainsi que la déf de X)

même chose pour l'autre inégalité

[Lily.]

Merci beaucoup !