Nombres Complexes ; Equation Du 3ième Degré (terms)

[ArthurJauregui]

Résoudre l’équation x^3= 15x + 4 (1)

1°) On pose x=u+v

Que devient alors l’équation (1) ?

Quelle valeur suffit-il de donner à u*v (u fois v) pour que (1) s’écrive u^3 + v^3= 4 ?

Dans ce cas, que vaut le produit u^3 * v^3 ?

2°) On pose U= u^3 et V= v^3

a) Vérifier que si U et V existent-ils sont solutions de l’équation : (X-2)^2 +121=0

Cette équation a-t-elle des solutions dans R (les Réels) ?

b) Montrer pourtant que 4 est solution de l’équation (1) et trouver les deux autres solutions après avoir factorisé x^3 – 15x – 4 par (x-4)

3°)

a) Résoudre l’équation trouvée à la question 2°)a) dont U et V sont solutions en utilisant le nombre « i » (rappel : i^2=-1)

b) Calculer (2+i)(2-i) , (2+i)^3, (2-i)^3 en tenant compte que i^2=-1

En déduire que (2+i)+(2-i) est solution de l’équation (1)

[ArthurJauregui]

Résoudre l'équation x^3= 15x + 4 (1)

1°) On pose x=u+v

Que devient alors l'équation (1) ?

Quelle valeur suffit-il de donner à u*v (u fois v) pour que (1) s'écrive u^3 + v^3= 4 ?

Dans ce cas, que vaut le produit u^3 * v^3 ?

2°) On pose U= u^3 et V= v^3

a) Vérifier que si U et V existent-ils sont solutions de l'équation : (X-2)^2 +121=0

Cette équation a-t-elle des solutions dans R (les Réels) ?

B) Montrer pourtant que 4 est solution de l'équation (1) et trouver les deux autres solutions après avoir factorisé x^3 – 15x – 4 par (x-4)

3°)

a) Résoudre l'équation trouvée à la question 2°)a) dont U et V sont solutions en utilisant le nombre « i » (rappel : i^2=-1)

B) Calculer (2+i)(2-i) , (2+i)^3, (2-i)^3 en tenant compte que i^2=-1

En déduire que (2+i)+(2-i) est solution de l'équation (1)

[elp]

je te commence l'exercice

x=u+v

x^3=(u+v)^3=u^3+3u²v+3uv²+v^3=u^3+v^3+3uv(u+v)

x^3=15x+4 équivaut à

u^3+v^3+3uv(u+v)=15(u+v)+4

u^3+v^3=(u+v)(15-3uv)+4

si on choisit 3uv=15 (dc uv=5), on a u^3+v^3=4

uv=5 dc u^3*v^3=125 dc UV=125

et de plus U+V=4

on a dc UV=125 et U+V=4

U=4-V et en reportant ds UV=125, on a (4-V)*V=125

4V-V²=125

soit finalement V²-4V+125=0

V²-4V+4+121=0

(V-2)²+121=0

pas de racines réelles car somme d'un carré et d'un nombre positif

x^3= 15x + 4 => x^3-15x-4=0

4^3-15*4-4=64-60-4=0

on peut mettre (x-4) en facteur ds x^3-15x-4

x^3-15x-4=(x-4)(x²+ax+1)

on trouve a=4 par identification

x^3-15x-4=(x-4)(x²+4x+1)

x²+4x+1=0 a 2 solutions -2+rac(3) et -2-rac(3)

(X-2)²=-121

X-2=11i ou X-2=-11i

X=2+11i ou X=2-11i

dc U=2+11i et V=2-11i

(2+i)(2-i)=4+1=5=uv

(2+i)^3=8+12i-6-i=2+11i=U=u^3

(2-i)^3=8-12i-6+i=2-11i=V=v^3

on a dc u=2+i, v=2-i

x=u+v=2+i+2-i=4