Nombre Complexe

[tiboo]

bonjour, j'ai un exo sur les nombres complexes mais je bloque a la 2éme question, j'espère que vous pourrais m'aider.

merci d'avance.

[elp]

f(x)=x^3+5x²+5x+4

on a bien f(-4)=0 dc on peut mettre (x+4) en facteur ds f(x)

par identification f(x)=(x+4)(x²+x+1)

x²+x+1=0 n'a pas de rac réelles car son discriminant est <0

P(z)=2z^4+(10-i)z^3+(10-5i)z²+(8-5i)z-4i

on a le 1er terme 2z^4=2z*z^3 et le dernier -4i=+4*(-i), ça donne à penser qu'on peut peut-être mettre (2z-i) en facteur ds P(z) pour utiliser le 1)

on vérifie donc que l'on a bien P(i/2)=0

ensuite par identification on montre que P(z)=(2z-i)(z^3+5z²+5z+4)

je te laisse faire les calculs.

le 1) a montré que z^3+5z²+5z+4 n'a qu'une racine réelle qui est -4

il y a donc encore 3 racines complexes dont l'une est i/2 (nbre imaginaire pur)

les 2 autres sont celles de z²+z+1)=0 qui sont (-1+irac(3))/2 et (-1-irac(3))/2

question c) je crois qu'il faut lire 2z-i et non 27-i

avec ce qui précède, j'ai déjà répondu à la question

[tiboo]

merci elp.

mais j'ai besoin d'explication pour :

P(z)=2z^4+(10-i)z^3+(10-5i)z²+(8-5i)z-4i

on a le 1er terme 2z^4=2z*z^3 et le dernier -4i=+4*(-i), ça donne à penser qu'on peut peut-être mettre (2z-i) en facteur ds P(z) pour utiliser le 1)

on vérifie donc que l'on a bien P(i/2)=0

ensuite par identification on montre que P(z)=(2z-i)(z^3+5z²+5z+4)

je te laisse faire les calculs.

merci d'avance.

[elp]

x^3+5x²+5x+4

2z^4+(10-i)z^3+(10-5i)z²+(8-5i)z-4i

on te suggère d'utiliser le résultat du 1)

2z^4=2z^z^3 (on pense au x^3 de la 1ère ligne)

-4i=-i*(4) (on pense au 4 de la 1ère ligne)

on se dit que peut-être 2z^4+(10-i)z^3+(10-5i)z²+(8-5i)z-4i=2z^4+(10-i)z^3+(10-5i)z²+(8-5i)z-4i

on calcule P(i/2) et on trouve 0 dc on est certain de pouvoir mettre (2z-i) en facteur

il reste à calculer a et b par identification ( tu développes 2z^4+(10-i)z^3+(10-5i)z²+(8-5i)z-4i, tu écris que c'est égal à 2z^4+(10-i)z^3+(10-5i)z²+(8-5i)z-4i et on trouve a=5 et b=5 )

[tiboo]

je suis encore bloquer elp :

on se dit que peut-être 2z^4+(10-i)z^3+(10-5i)z²+(8-5i)z-4i=2z^4+(10-i)z^3+(10-5i)z²+(8-5i)z-4i

c'est le même de chaque côté ?

il reste à calculer a et b par identification ( tu développes 2z^4+(10-i)z^3+(10-5i)z²+(8-5i)z-4i, tu écris que c'est égal à 2z^4+(10-i)z^3+(10-5i)z²+(8-5i)z-4i et on trouve a=5 et b=5 )

la encore c'est la même chose ?

merci.

[elp]

on se dit que peut-être 2z^4+(10-i)z^3+(10-5i)z²+(8-5i)z-4i=(2z-i)(z^3+5z²+5z+4)

c'est ce que j'avais écrit ds un message précédent [ensuite par identification on montre que P(z)=(2z-i)(z^3+5z²+5z+4)]

désolé pour l'erreur d'écriture , ça ne voulait plus rien dire sauf à relire le message d'avant,)

[tiboo]

bonjour,

elp je bloque car je trouve

(2z-i)(z+4)(z²+z+1) donc <0 et non (2z-i)(z+4)(5z²+5z+1) comme tu me l'as dit.

merci de ton aide.

[elp]

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f(x)=x^3+5x²+5x+4

on a bien f(-4)=0 dc on peut mettre (x+4) en facteur ds f(x)

par identification f(x)=(x+4)(x²+x+1)

x²+x+1=0 n'a pas de rac réelles car son discriminant est <0

***(Voir 1er message)***

le 1) a montré que z^3+5z²+5z+4 n'a qu'une racine réelle qui est -4

il y a donc encore 3 racines complexes dont l'une est i/2 (nbre imaginaire pur)

les 2 autres sont celles de z²+z+1)=0 qui sont (-1+irac(3))/2 et (-1-irac(3))/2

P(z)=(2z-i)(z^3+5z²+5z+4)

et comme x^3+5x²+5x+4=(x+4)(x²+x+1) on arrive à

P(z)=(2z-i)(z+4)(z²+z+1)

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tout ça c'est ce que j'ai écrit ds mes messages

les 2 nombres5 dont je t'ai parlés sont ceux de x^3+5x²+5x+4 , on ne s'est pas compris

ensuite par identification on montre que P(z)=(2z-i)(z^3+5z²+5z+4); c'est ici que l'on trouve 5 et 5