Dm Suites Numériques

[ludo6810]

Bonjour à tous, voila j'ai un devoir à la maison à faire pour bientôt et j'ai quelques soucis sur cet exercice-là. Si vous pourriez m'aider sa serait vraiment gentil !

On considère la fonction f définie dur R+ par f(x) = (2x + 2)/(x + 3)

1) Étudier les variations de f.

2) En déduire que, pour tout x € [0 ; 1], f(x) € [0 ; 1]

3)

a) Représenter graphiquement f dans un repère orthonormal d’unité graphique 10 cm.

B) Représenter graphiquement les quatre premiers termes de la suite (Un)

c) Que peut-on conjecturer quand au sens de variation de cette suite ?

4) a) Montrer, que pour tout n € N, Un € [0 ; 1].

B) Montrer que, pour tout n € N, Un+1 – Un = [(Un + 2)(1 – Un)]/(Un + 3)

c) En déduire le sens de variation de la suite (Un).

5) On considère la suite (Vn) définie par Vn = (Un – 1)/(Un + 2)

a) Prouver que (Vn) est une suite géométrique et donner ses éléments caractéristiques.

B) Exprimer Vn en fonction de n

c) Exprimer Un en fonction de Vn, puis en fonction de n.

Donc voila mes réponses :

1) f est strictement croissante car lorsque l'on étudie le signe de f'(x) on constate qu'il est positif.

2) Je ne trouve pas :s

3) Aucun problème pour tracer la courbe et placer les points de la suite. De plus on peut conjecturer que la suite est strictement croissante sur R+.

4) Je ne trouve pas non plus :s

Voila si vous pouviez m'aider sa serait cool. Merci d'avance

[elp]

tu nous parles d'une suite U(n) mais ds l'énoncé on ne voit pas comment elle est définie !

f croissante

f(0)=2/3

f(1)=1

dc 2/3<f(x)<1 qd 0<x<1

[sandra15]

Pour la question 1 et 2 tu peux faire un tableau de variation.

[Droiide42]

Bonjour, je suis un ami de Ludo6810 (Je suis dans sa classe)

donc il a oublié de mettre: "3) Dans toute le suite, on considére la suite (Un) définies par U0= 0 et Un+1= f(Un), n € N

Sinon merci pour vos réponse. On vas y regardre plus en détails ce soir et donc on vous réécrira se soir.

Merci encore

[elp]

U(n+1)=(2U(n)+2)/(U(n)+3)

4)a)

on utilise le résultat du 2) qui dit que si x € [0;1] alors f(x) € [0;1]

U(o)=0

U(1)=2/3

on fait un raisonnement par récurrence

supposons que U(n) € [0;1]

en utilisant le 2) on en déduit que f(U(n)) c'est à dire U(n+1) € [0;1]

je vous laisse finir

********************************************

U(n+1)-U(n)=(2U(n)+2)/(U(n)+3)-U(n)=[ (2U(n)+2-U(n)*(U(n)+3)]/(U(n)+3)=[2U(n)+2-U²(n)-3U(n)]/(U(n)+3)=[-U²(n)-U(n)+2]/(U(n)+3))=

[u(n)+2][-U(n)+1]/(U(n)+3)

on sait que 0<=U(n)<=1 pour tout n dc U(n)+2>0; 1-U(n)>=0 et U(n)+3>0 dc la différence U(n+1)-U(n) est >=0 et la suite est croissante

*************************************************

V(n)=(U(n)-1)/(U(n)+2)

V(n+1)=(U(n+1)-1)/(U(n+1)+2)=[(2U(n)+2)/(U(n)+3)-1)]/[(2U(n)+2)/(U(n)+3) +2]

on réduit au même dénominateur etc.. je n'écris pas les calculs, on trouve finalement [u(n)-1]/[4U(n)+8]=(1/4)*[u(n)-1]/[u(n)+2]=(1/4)*V(n)

pour tout n V(n+1)=(1/4)V(n) dc suite géo de raison (1/4) de 1er terme V(0)=-1/2

V(n)=(-1/2)*(1/4)^n

[u(n)-1]/[u(n)+2]=(-1/2)*(1/4)^n

U(n)-1=[(-1/2)*(1/4)^n]*[u(n)+2]

U(n)-1=[(-1/2)*(1/4)^n]*U(n)+[(-1/2)*(1/4)^n]*2

U(n)-[(-1/2)*(1/4)^n]*U(n)=[(-1/2)*(1/4)^n]*2+1

U(n)[1+(1/2)*(1/4)^n]=1-(1/4)^n

U(n)=[1-(1/4)^n]/[1+(1/2)*(1/4)^n]

A vérifier et à rédiger correctement. Bon courage.

[Droiide42]

Merci pour tout. C'est ce que l'on avait à peu près fait. Merci beaucoup pour avoir pris de ton temps pour nous répondre. A bientôt.

Merci

[ludo6810]

Merci beaucoup de votre aide précieuse !!

sa m'a bien aidé :

Et merci d'avoir passer du temps pour nous apporter votre aide