3ème Degré Et Complexes

[Halima25]

Bonjour à tous, j'ai un exo que je trouve vraiment très dur et où j'ai d'énormes difficultés, pourriez vous m'aider svp ? Pour la partie 1, je bloque à partir de la 3 et je n'arrive à rien dans la partie 2. voici le sujet :

PARTIE 1

Soit (E1) : f(x)= x³ - 6x - 6

1) Conjecturez le nbre de solu de (E1) à la calculette OK (une solu)

2) Soit x=u+v, u et v appartiennent à . Vérifier que x³=3uv(u+v)+u³+v³OK

3) En déduire que si u et v vérifient (S1) u³+v³=6 et uv=2 alors x est solution de (E1)

4) U=u³ et V=v³, démontrer que (u;v) solution de (S1) ssi (U;V) solution de (S2) : U+V=6 et UV=8

5) Résouddre (S2) puis déterminez u et v ainsi qu'une solu de (E1)

PARTIE 2

Soit (E2) : f(x) = x³ - 15x - 4

1) Conjecturer le nbre de solu de (E2) à la calculette

2) En utilisant la Partie 1, montrez que pr trouver une solu de (E2) il suffit de trouver U et V solu de l'équa (E3) :

X² - 4X + 125 = 0

3) Montrer que (E3) n'a pas de solu réelle

4) En utilisant la formee canonique résoudre (E3) dans C

5) Calculez (2+i)³ et en déduire des valeurs possibles pour u et v puis trouver une solu de (E2) qu'on notera alpha.

6) Ecrire x³ - 15x - 4 sous la forme (x-alpha)(x²+ax+B), en déduire ttes les solu réelles de (E2)

MERCI D'AVANCE

[elp]

x^3-6x-6=3uv(u+v)+u^3+v^3-6(u+v)-6=3*2(u+v)+6-6(u+v)-6=0 dc x solution de S1

u^3+v^3=6 > U+V=6

uv=2 >(uv)^3=2^3<=> (u^3)*(v^3)=8<=>UV=8

U+V=6

UV=8

U=6-V

(6-V)*V=8

6V-V²=8

0=V²-6V+8

delta= 4

V1=(6+2)/2 V2=(6-2)/2

V1=4 V2=2

on en déduit U1=2 et U2=4

finalement u^3=4 et v^3=2 (ou le contraire, ça ne change rien)

x=racine cubique de 4 + racine cubique de 2

[Halima25]

Merci beaucoup, et pour la partie 2 pourriez vous encore m'aider ou juste me donner des pistes ?

[elp]

on fait comme au I)

x=u+v

x^3-15x-4=u^3+v^3+3uv(u+v)-15(u+v)-4

on pose u^3+v^3=4 et uv=5

puis U+V=4 et UV=5^3=125 etc.... (pareil qu'au I)

[Halima25]

Oui mais comment on sait que u^3+v^3=4 ???

[Halima25]

J'ai fait comme vous m'avez dit est-ce que ça va si je mets ce qui suit pour la question 2 ?

x=u+v

x^3-15x-4 = u^3+v^3x+3uv(u+v)-15(u+v)-4

on pose u^3+v^3=4 et uv=5

donc x^3-15x-4=4+3*5(u+v)-15(u+v)-4=0

donc x=u+v est solution de (E2)

on pose U=u^3 et V=v^3

U+V=u^3+v^3=4

UV=5^3=125

U=4-V

(4-V)V=125

4V-V²=125

V²-4V+125=0

Soit X²-4X²+125=0

et ça pour la question 3 ???

delta = (-4)²-4*1*125=16-60 = -44

delta < 0 donc l'équa n'a aucune solution réelle

[elp]

x^3-15x-4 = u^3+v^3+3uv(u+v)-15(u+v)-4

on pose u^3+v^3=4 pour éliminer le (-4) de la fin et uv=5 ainsi 3uv(u+v) font 15(u+v) et s'éliminent avec les -15(u+v)

le tout fait opportunément 0 ! (car on veut résoudre x^3-15x-4=0)

X²-4X²+125=0

delta= 16-4*125=16-500

delta négatif dc pas de racines réelles.

[Halima25]

Je suis arrivée à la dernière question et je ne sais pas par quoi remplacer a et b

[Halima25]

en fait c'est bon je les ai remplacés de façon à trouver la réponse merci