Exercice Complexes, Tle S

[Nelly-y]

Bonjour a tous :]

J'espere que vous avez passé une bonne rentrée. Voilà c'est un exercice sur les nombres complexes

On pose j=-1/2+ i/rac3/2

1/ demontrer que j²=j= -(1+j)

2/en deduire que j3=1

3/a/ En utilisant le fait que 1+j=-j², montrer que pour tout entier naturel n, on a (1+j)exposant 2n+1=-jexposant n+2

b/ En deduire la forme algebrique de (1+j)31

4/calculer 1+j+j²+...+j2²°

J'ai reussi à faire la dernière question, j'avoue avoir un peu du mal avec cette excercie. J'y arrive quand il suffit de mettre sous la forme algebrique par exemple mais la j'comprends pas vraiment j'ai été voir un site de cours de maths nommé nombre imaginaire ordre 3 mais j'y ai vraiment rien compris :/

Merci d'avance pour votre aide :]

[elp]

j=-1/2+irac(3)/2

on utilise (a-b)²=a²-2ab+b²

j²=1/4-irac(3)/2-3/4 =-1/2-irac(3)/2=-(1/2+irac(3)/2)=-(1-1/2+irac(3)/2)=-(1+j)

j^3=j²*j=-(1+j)*j=-j-j²=-j-[-(1+j)]=-j+1-j=1

1+j=-j²

(1+j)^(2n+1)=(-j²)^(2n+1)=-j^(4n+2)=-j^(3n)*j^(n+2)=-(j^3)^n)*j^(n+2)=-(1)^n*j^(n+2)=-1*j^(n+2)=-j^(n+2)

(1+j)^31=(1+j)^(2*15+1)

ici n=15 dc n+2 =17 et (1+j)^31=-j^(17)

j=-1/2+irac(3)/2=[cos(2pi/3)+isin(2pi/3)]

j^17=[cos(17*2pi/3)+isin(17*2pi/3)]=[cos(34pi/3)+isin(34pi/3)]=-1/2-i*rac(3)/2

la réponse est 1/2+i*rac(3)/2

sinon (1+j)^31=(1+j)^30*(1+j)=(-j²)^30*(1+j)=(j^60)*(1+j)=(j^3)^20 *(1+j)=1^20 *(1+j)=1+j=1-1/2+i*rac(3)/2=1/2+i*rac(3)/2

on trouve le même résultat

Vérifie quand même tout cela !

[Jack.]

Je viens justement de terminer avec une amie

pour la question 3b/ j'ai utilisé la deuxième methode mais j'avoue ne pas avoir compris celle avec l'histoire des cosinus et sinus.

En tout cas encore merci c'est en revoyant ce que tu viens de faire que je retrouve mes erreurs idiotes.

[elp]

A propos des cos et des sin:

C'est que tu n'as peut-être pas encore vu les complexes sous forme trigonométrique ?

A +