Démonstration Par Récurrence

[Lily.]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir comment démontrer par récurrence qu'une suite est majorée?

J'ai comme données u(1)= 9000 et pour tout entier n>=1, u(n+1) = 0.7u(n) + 3000

J'ai su démontrer que u est monotone mais j'ai du mal pour la suite...

Merci d'avance!

[elp]

U(n+1)-U(n)=0.7U(n)+3000-U(n)=3000-0.3U(n)=0.3(10000-U(n))

On va montrer par récurrence que tous les termes de la suite sont < 10000

supposons la propriété vraie à l'ordre n

U(n)<10000 donc

0.7U(n)<0.7*10000 dc

o.7U(n)<7000 dc

0.7U(n)+3000<7000+3000 dc

U(n+1)<10000

U(0)=9000 est <10000 dc tous les U(n) sont < 10000

pour tout n

10000-U(n)>0

0.3(10000-U(n))>0

U(n+1)>U(n) >0 dc U suite croissante

Comme elle est majorée par 10000, elle est convergente

[Lily.]

Merci infiniment !

Bonne soirée