Lily. Posté(e) le 6 septembre 2008 Signaler Posté(e) le 6 septembre 2008 Bonjour à tous, On a commencé la récurrence en fin d'heure de cours hier et le prof nous a donné un exo que j'ai du mal à attaquer.. L'énoncé est : Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, 1² + 2² + 3² + ... + n² = [n(n+1)(2n+1) / 6] Conseil: remarquer que 1² + 2² + ... + (n+1)² = 1² + 2² + ... + n² + (n+1)² . Voilà, j'ai du mal à trouver P(0) et je ne sais pas par quoi commencer... Merci d'avance pour votre aide, si quelqu'un veut bien..
E-Bahut elp Posté(e) le 6 septembre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 6 septembre 2008 calcule 1² + 2² + 3² + ... + n² d'une part puis [n(n+1)(2n+1) / 6] d'autre part en donnant à n la valeur 0, puis 1, puis 2 pour voir si tu as égalité des 2 calculs effectués. ensuite, on suppose la propriété vraie à l'ordre n; on a donc 1²+2²+3²+...n²=[n(n+1)(2n+1) / 6] on doit démontrer que cette propriété est vraie à l'ordre n+1 1²+2²+3²+...n² + (n+1)²= [n(n+1)(2n+1) / 6] + (n+1)²=(n+1)[n(2n+1)/6 + (n+1)]=(n+1)[2n²+n +6n+6]/6=(n+1)(2n²+7n+6)/6 on compare cela à (n+1)(n+2)[2*(n+1)+1]/6 (n est remplacé par n+1 ) on trouve (n+1)(n+2)(2n+2+1)/6=(n+1)(n+2)(2n+3)/6=(n+1)(2n²+3n+4n+6)/6=(n+1)(2n²+7n+6)/6 les 2 résultats sont égaux donc si la propriété est vraie à l'ordre n, alors elle l'est à l'ordre (n+1) je te laisse finir
Lily. Posté(e) le 6 septembre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 6 septembre 2008 Merci beaucoup d'avoir répondu, mais je ne comprends pas très bien la première ligne (je suis vraiment nulle en suites).. calcule 1² + 2² + 3² + ... + n² d'une part puis [n(n+1)(2n+1) / 6] d'autre part en donnant à n la valeur 0, puis 1, puis 2 pour voir si tu as égalité des 2 calculs effectués.
E-Bahut elp Posté(e) le 6 septembre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 6 septembre 2008 1² + 2² + 3² + ... + n² = 0 si n=0 1 si n=1 5 si n=2 [n(n+1)(2n+1) / 6]= 0 si n=0 1*2*3/6=1 si n=1 2*3*5/6=5 si n=2 la propriété est vraie pour n=0, n=1, n=2 donc on se pose la question de savoir si elle est vraie pour tout entier n on vérifie l'hérédité et on peut conclure
Lily. Posté(e) le 7 septembre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 7 septembre 2008 Le [n(n+1)(2n+1) / 6] est vrai pour tout n>=0, j'ai calculé et jusque-là je comprends. Mais ce que je ne comprends pas, c'est ça : 1² + 2² + 3² + ... + n² = 0 si n=0 1 si n=1 5 si n=2
E-Bahut elp Posté(e) le 7 septembre 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 7 septembre 2008 0²=0 0²+1²=1 0²+1²+2²=0+1+4=5 0²+1²+2²+3²=0+1+4+9=14=3*(3+1)*(2*3+1)/9=3*4*7/6=84/6=14 0²+1²+2²+3²+......+n²=n(n+1)(2n+1)/6
Lily. Posté(e) le 7 septembre 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 7 septembre 2008 Ca y est ! Je n'avais pas compris ça comme ça ... Merci beaucoup Elp ! Bonne journée !
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