Aide Exo (suites)

[Halima25]

Bonjour à tous, de retour sur le forum pour la rentrée et j'ai déjà un soucis >_< j'ai eu un DM hier avec un exo sur les suites et pas moyen de m'y remettre même avec mes cours de 1ère, je vous donne le sujet en esperant de l'aide ! Merci d'avance

Soit un triangle équi. de côté k₁, le cercle inscrit de ce triangle a un rayon r₁. Dans ce même cercle, on inscrit un triangle équi de côté k₂, on trace à nouveau un cercle inscrit dans ce triangle, on nomme son rayon r₂. En appliquant plusieurs fois cette technique, on obtient les suites (k_n) et (r_n).

1. Calculer r₁ en fction de k₁ et k₂ en fction de k₁.

2. Calculer k_n+1 en fction de k_n puis r_n+1 en fction de r_n

3. Déduire l'expression de c_n puis r_n en fonction de n et de c₁

4. Calculer la somme des aires des n premiers triangles dessinés. Cette aire a-t-elle une limite lorsque n tend vers +oo?

5. Même qiestop, pour la somme des aires des n premiers cercles.

[elp]

ds un triangle équilatéral, les droites remarquables sont confondues (hauteurs, médianes, médiatrices des côtés et bissectrices des angles)

le centre du cercle inscrit est dc aussi l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit.

si k1 est le côté du tr alors la hauteur mesure k1*rac(3)/2

le centre de gravité est sur chaque médiane aux 2/3, 1/3

le rayon du cercle inscrit est le tiers de la hauteur donc k1*rac(3)/6

ce cercle inscrit est tangent aux 3 côtés du tr en leurs milieux car c'est un tr équilatéral

le triangle ayant pour sommet les 3 pts de contact a dc pour côté k2=k1/2 (segment qui joint les milieux de 2 côtés d'un tr) et le rayon du cercle inscrit est la moitié du rayon r1

avec ces indications, tu devrais pouvoir débuter l'ex.

[Halima25]

Depuis mon post sur le forum, j'avais trouvé pour la première question :

r1 = (k1*rac3)/6 et k2 = k1/2

J'avais déduit pour la seconde :

kn+1 = kn/2 et rn+1=rn/2 car r2=(k2*rac3)/6 = (k1*rac3)/6 * 1/2 = r1/2

Est-ce que c'est bon ???

[Halima25]

Depuis mon post sur le forum, j'avais trouvé pour la première question :

r1 = (k1*rac3)/6 et k2 = k1/2

J'avais déduit pour la seconde :

kn+1 = kn/2 et rn+1=rn/2 car r2=(k2*rac3)/6 = (k1*rac3)/6 * 1/2 = r1/2

Est-ce que c'est bon ???

[elp]

Ca me parait correct (chaque nouveau triangle est semblable au précédent avec ses dimensions divisées par 2)

[Halima25]

Pour la 3, je ne vois pas trop comment faire

[elp]

k2=(1/2)k1

k3=(1/2)k2=(1/2)²k1

k4=(1/2)k3=(1/2)^3 k1

kn=(1/2)^(n-1) k1

( suite géom de raison 1/2)

idem pour les rayons

[Halima25]

Merci j'ai compris

Pour la question 4 je dois appliquer la formule de la somme pour une suite géom, donc avant je dois calculer l'aire du premier triangle, je trouve A(triangle de coté k1) = (k1².rac3)/4 est-ce exact ?

[elp]

Ok

base*hauteur/2 dc on a bien k1²*rac(3)/4

NB

si les dimensions d'un triangle sont divisées par 2 alors son aire est divisée par 4 dc raison 1/4 pour les aires.

[Halima25]

Ah oui c'est vrai j'avais pas pensé à cette jolie petite règle moi j'avais fait un calcul xD donc quand je fais la somme, le premier terme c'est (k1².rac3)/4 c'est ça ?

[elp]

(k1².rac3)/4 est l'aire du tr de côté k1

le triangle suivant a pour aire (k1².rac3)/4*(1/4)=k1²*rac(3)/16 etc..... (aire 4 fois + petite )

[Halima25]

donc pour la somme d'une suite geom dont la formule est 1er terme . (1-q^n)/(1-q) je ne vois pas quoi utiliser comme 1er terme et la raison 1/2 ou 1/4 ???

[elp]

pour la somme des aires: le 1er terme est l'aire du premier triangle et la raison est 1/4 car chaque triangle a ses dimensions 2 fois + petites que le précédent donc une aire 4 fois + petite.

on utilise (après avoir mis le 1et terme en facteur):

1+r+r²+r^3+ r^n= (1-r^(n+1))/(1-r)

[Halima25]

Je ne comprends pas ce que je fais de k1 quand j'ai :

S= [ (k1.rac3) / 4 ] . [ (1-(1/4)^n) / (1-1/4) ]

[elp]

k1 est la longueur du côté du 1er triangle, tu le laisses en facteur, c'est tout

[Halima25]

Est-ce que vous pouvez me donner le calcul svp car je ne trouve vraiment pas :s

[elp]

S1+S2+....Sn= [ (k1.rac3) / 4 ] . [ (1-(1/4)^n) / (1-1/4) ]

c'est ce que tu as très bien trouvé toi même.

c'est la somme des aires des tr numéro 1 à numéro n.

si n tend vers +00, (1/4)^n tend vers 0 dc la somme des aires tend vers (k1²rac(3)/4)*(1/(1-1/4))=(k1²rac(3)/4)*(1/(3/4))=

(k1²rac(3)/4)*(4/3)=k1²rac(3)/3

bonne fin d'ex

[Halima25]

donc ça se simplifie pas le calcul que j'ai trouvé ? c'est ça que je me demandais lol

[Halima25]

elp, pouvez-vous confirmer que ce calcul ne se simplifie pas svp :s

[Halima25]

pour les cercles la raison est bien de 1/4 aussi ?

[elp]

pas de grosse simplification

(au dénominateur, 1-1/4=3/4 et diviser par 3/4 revient à multiplier par 4/3, dc petite simplification mais tu restes avec

1-(1/4)^n)

pour les cercles c'est pareil que pour les tr. Tu dois simplement remplacer l'aire du 1er tr par l'aire du 1er cercle.

[Halima25]

Ok merci beaucoup pour cette grosse aide bonne soirée