Suites: 0,9999...=1

[nilo71]

bonjour,

j ai du mal avec cet exercice, pouvez vous m aider svp, merci d avance

soit la suite(Un) definie de la maniere suivante: U1=0,9, U2=0,99, et plus generalement, Un=0,99...9 ou le nombre de 9 est egale a n. Le nombre 0,999... qui comporte une infinité de 9 est donc la limite, si elle existe, de la suite (Un)

1-a-demontrer que, pour tout entier strictement positif n, Un=9*10^-1+9*10^-2+...+9*10^-n

b-simplifier alors l ecriture de Un et determiner lim Un quand n tend vers +

c-l egalité 0,999..=1 est elle vraie?

2-determiner de la meme facon, l ecriture rationnelle de 0,200820082008..

3-Soit (V_n) la suite définie par: V_n= (1+ (1+ (1+ (1)))) (avec n radicaux emboités)

a-determiner la relation de recurrence qui lie, pour tout entier n non nul, V_n et V_n+1

b-tracer , dans un repere orthonormé d unité 2 cm la courbe representative de la fonction f(x)= (1+x), ainsi que la droite d equation y=x et determiner graphiquement la limite de la suite (V_n)

c-calculer la valeur exacte de cette limite

merci d avance

[Barbidoux]

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1-a-demontrer que, pour tout entier strictement positif n, Un=9*10^-1+9*10^-2+...+9*10^-n

^{------------------------------------}

^{U1=0,9=9*10-1}

U2=0,99=9*10^-1+9*10^-2

Les termes successif de Un forment une suite géométrique de terme initial égal à 0,9 et de raison 10^-1 donc :

Un=0,9*(1-10^-n)/(1-^-1)=1-10^-n

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Simplifier alors l ecriture de Un et determiner lim Un quand n tend vers +

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Lim Un =1 quand -> n-> et l’egalité 0,999..=1 est vraie.

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2-De la meme facon Sn=0,200820082008....=0,2008*1+0,2008*10^-4+0,2008*10^-8....

Les termes successif de Sn forment une suite géométrique de terme initial égal à 0,2008 et de raison 10^-4 donc :

Un=0,2008*(1-10^-4*n)/(1-10^-4)

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3-Soit (V_n) la suite définie par: V_n= (1+ (1+ (1+ (1)))) (avec n radicaux emboités).

a-determiner la relation de recurrence qui lie, pour tout entier n non nul, V_n et V_n+1

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V_n+1= (1+V_n)

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b-tracer , dans un repere orthonormé d unité 2 cm la courbe representative de la fonction f(x)= (1+x), ainsi que la droite d equation y=x et determiner graphiquement la limite de la suite (V_n)

Lorsque n-> la relation V_n+1= (1+V_n) montre que V_n+1 et (1+V_n) convergent vers la même limite. Si lon pose V_n=x et que l’on trace les graphes de y=x et f(x)= (1+x) la limite de la suite (V_n) lorsque n -> correspond à l’intersection des deux graphes obtenue pour x= 1,618

A vérifier....

[nilo71]

merci beaucoup