Probleme De Cercle

[nilo71]

bonsoir,

j ai quelque problem avec cet exercice, pouvez vous m aider. Merci d avance

A-question preliminaire

Dans 1 reprere orthonormé du plan soit A le point de coordonnees (xa; yb) et soit R 1 reel strictement positif. On appelle C le cercle de centre A et de rayon R. Soit M 1 point quelconque de coordonnees (x;y)

1-exprimer AM en fonction de xa,ya,x,y

(AM= ((x-xa)²+(y-ya)²) c est bien cela?)

2- demontrer l' equivalence : M appartient a C equivaut a (x-xa)²+(y-ya)²=R²

l equation (x-xa)²+(y-ya)²=R² est appelé equation cartesienne ds C

B-Etude d' une fonction

Soit f la fonction definie sur Df=]- ;0[ union]0;+ [ par f(x)=(-x²+x-1)/(x)

1-calculer f'(x) pour tout x appartenant a Df en deduire le tableau de variation de f.

(f'(x)=(-x²+1)/(x²))

2-calculer les limites de f en 0 en deduire la presence d une asymptote a la courbe c representative de la fonction f. preciser l' equation de

3- calcule les limites de f en + et - . demontrer que c admet 1 asymptote oblique dont on donnera l equation

4- tracer ds 1 repere orthonormé les asymptote de c , les tangentes horizontales de c pius la courbe c . on notera A et B les points de la courbe en lequels la tangente est horizontale

C-famille de cercle

Soit m un reel; on note Dm la droit d' equation y=m

1-etudier suivant les valeurs de m, le nombre de points d intersecon de Dm et c

2-dans le cas ou il y a 2 points d' intersection on appelle H1 d abscisse x1 et H2 d abscisse x2 ces deux points. On note £m le cercle de diametre [H1H2]

(a) sans calculer x1 et x2 determiner en fonction de m les coordonnees du centre Im de £m

(b)demontrer que H1H2²=(x2-x1)², puis que H1H2²=(x2+x1)²-4(x1)(x2)

© en deduire toujours sans calculer x1 et x2 l expression de H1H2² en fonction de m

(d) demontrer alors qu une equation cartesienne de £m est x²+(m-1)x+y²-2my+m²+1=0

(e) demontrer enfin que pour toute valeur de m appartenant a ]- ;-1[ union]3;+ [ £m appartient a la droite (AB)

(f) tracer sur lafigure de la partie B, la droite D_2 ainsi que I_2 et £_2

merci beaucoup d avoir prete ayyention a mon probleme

[Barbidoux]

A-question preliminaire

Dans 1 reprere orthonormé du plan soit A le point de coordonnees (x_a; y_a) et soit R un reel strictement positif. On appelle C le cercle de centre A et de rayon R. Soit M 1 point quelconque de coordonnees (x;y)

1-exprimer AM en fonction de x_a,y_a,x,y

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AM{(x-x_a); (y-y_a)

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2- demontrer l' equivalence : M appartient a C equivaut a (x-x_a)²+(y-y_a)²=R²

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||AM||=R² ==>(x-x_a)²+(y-y_a)²=R²

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B-Etude d' une fonction

Soit f la fonction definie sur Df=]- ;0[ union]0;+ [ par f(x)=(-x²+x-1)/(x)

------------------------------

1-calculer f'(x) pour tout x appartenant a Df en deduire le tableau de variation de f.

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(f'(x)=(-x²+1)/x²)=(1-x)*(1+x)/x²

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...........................(-1).................0..................(1)..............

f’(x).........(-)........(0).........(+).....||.......!+).....(0).......(-)...

f(x).....decrois....min......crois......||....crois......max....decroi...

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2-calculer les limites de f en 0 en deduire la presence d une asymptote a la courbe c representative de la fonction f. preciser l' equation de

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x->0⁺ f(x) ->-1/0⁺ -> -

x->0^- f(x) ->-1/0^- -> +

Asymptote verticale d’équation x=0

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3- calcule les limites de f en + et - . demontrer que c admet 1 asymptote oblique dont on donnera l equation

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x-> + f(x) -x+1 -> - asymptote d’équation y=-x+1 et f(x)-x+1<0 donc f(x)-> y par valeurs inférieures .

x-> - f(x) -x+1 -> + asymptote d’équation y=-x+1 et f(x)-x+1>0 donc f(x)-> y par valeurs supérieures

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4- tracer ds 1 repere orthonormé les asymptote de c , les tangentes horizontales de c pius la courbe c . on notera A et B les points de la courbe en lequels la tangente est horizontale

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A vérifier .... Suite à venir....

[Barbidoux]

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C-famille de cercle

Soit m un reel; on note Dm la droit d' equation y=m

1-etudier suivant les valeurs de m, le nombre de points d intersection de Dm et c

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f(x)=m ==> (-x^2 + x - 1)/x=m ==> x^2+(m-1)*x+1 =0

=(m-1)^2-4 ==> =m^2-2*m-3

admet deux racines (m=-1 et m=3) >0 pour m<-1 et m>3

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2-dans le cas ou il y a 2 points d' intersection on appelle H1 d abscisse x1 et H2 d abscisse x2 ces deux points. On note £m le cercle de diametre [H1H2]

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(a) sans calculer x1 et x2 determiner en fonction de m les coordonnees du centre Im de £m

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H1{x1, m}

H2{x2, m}

I{(x1+x2)/2; m}

or somme des racines x1+x2=(m-1) et produit x1*x2=1

I{(m-1)/2; m}

H1H2{(x1-x2); 0}

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b- demontrer que H1H2²=(x2-x1)²,

H1H2{(x1-x2); 0} ==> H1H2²=(x2-x1)² =x2² +x1² -2*x1*x2 =x2² +x1² +2*x1*x2 -4*x1*x2 =(x2+x1)²-4(x1)(x2)

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c-en deduire toujours sans calculer x1 et x2 l’expression de H1H2² en fonction de m

somme des racines x1+x2=(m-1) et produit x1*x2=1

H1H2²= (x2+x1)²-4(x1)(x2)=(m-1)^2-4

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(d) demontrer alors qu une equation cartesienne de £m est x²+(m-1)x+y²-2my+m²+1=0

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(x-x₀)²+(y-y₀)²=R² est l’equation d’un cercle de centre I{x₀, y₀} et de rayon R

L’equation du cercle de centre I{(m-1)/2; m} et de rayon H1H2/2 s’écrit :

(x-(m-1)/2)²+(y-m)²=((m-1)^2-4)/4 soit :

x²+(m-1)x+y²-2my+m²+1=0

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(e) demontrer enfin que pour toute valeur de m appartenant a ]- ;-1[ union]3;+ [ £m appartient a la droite (AB)

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Je ne comprends pas la question ...

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A vérifier....

[nilo71]

merci infinient d avoir passe autant de temps sur cet exercice