Dm De Math

[nasridu62]

slt il me reste plus que cette exo a fére pr mon dm mé je comprend rien si vous pourrez m'aider voila le sujet:

On considére un disque de centre de rayon "r".

On rappelle que l'aire d'un secteur D E tel que l'angle D E ait pour mesure en radians est égale à r² x /2.

On rappelle également les formules de trigonométrie:

2cos²a = 1+cos(2a) et sin( -a) = sin a

On considére un disque D de centre O de rayon R délimité par le cercleC. Soit A un point du cercle C.

Le but de l'exercice est de tracer un cercle C' de centre A qui partage le disque D en deux parties de meme aire.

On designe par B et B' les points d'intersection des cercles C et C' et on designe par "alpha" la mesure en radian, comprise entre 0 et /2, de l'angle OAB.

1) Montrer que le rayon AB du cercle C' vérifie AB = 2Rcos"alpha".

2)a) Déterminer une mesure en radians de l'angle AOB en fonction de "alpha".

B) En deduire l'aire, en unités d'aires, du secteur circulaire AOB, du disque C' en fonction de "alpha" et de R.

3)a) Calculer l'aire, en unité d'aires, du triangle OAB, en fonction de alpha et de R.

B) Déterminer l'aire, en unités d'aires, de la partie hachuré de la figure, en fonction de alpha et de R.

4) On désigne par D' le disque de centre A de rayon AB, délimité par le cercle C'.

Calculer, en fonction de alpha et de R, l'aire du secteur circulaire BAB' du disque D'.

5) En déduire l'aire commune S aux deux disques D et D', en fonction de alpha et de R.

6) Montrer alors que C' partage le disque D en deux parties de meme aire si, et seulement si, alpha verifie:

2"alpha"cos(2alpha) - sin(2alpha) + /2 = 0.

voila je sait que c assez long mé jy arrive pas dc merci d'avance pour votre aide.

[elp]

1)

soit H le milieu de [AB]

BOA=tr isocèle dc H=pied de la hauteur issue de O ds BOA

ds tr rectangle OHA: AH=OA*cos(a) dc AB/2=R*cos(a) dc AB=2Rcos(a)

2)

a)

AOB=pi-2a (somme des angles d'un triangle = 180°)

b) aire du secteur circulaire AOB=R²(pi-2a)/2

3)

a) aire de AOB=OH*AB/2=Rsin(a)*2Rcos(a)/2=R²sin(a)cos(a)

b)

aire hachurée (je la devine)=aire du 2b-aire du 3a=R²(pi-2a)/2-R²sin(a)cos(a)

4)aire secteur circulaire BAB'=2a*AB²/2=a*(2Rcos(a))²

5)

aire commune=2*aire hachurée+aire du 4=2*[R²(pi-2a)/2-R²sin(a)cos(a)]+4R²*a*cos²(a)=

R²(pi-2a)-2R²sin(a)cos(a)+4aR²cos²(a)

on utilise les 2 relations qui suivent

cos²(a)=(1+cos(2a))/2

2sin(a)cos(a)=sin(2a)

aire commune=R²(pi-2a)-R²sin(2a)+2aR²(1+cos(2a))=piR²-2aR²-R²sin(2a)+2aR²+2aR²cos(2a)=

2aR²cos(2a)-R²sin(2a)+piR²

On aura égalité des 2 aires ssi aire commune = la moitié de l'aire du disque de rayon R =piR²/2

2aR²cos(2a)-R²sin(2a)+piR²=piR²/2

en simplifiant par R²

2acos(2a)-sin(2a)+pi=pi/2

2acos(2a)-sin(2a)+pi/2=0