Produit Scalaire 1eres

[Nigel Marven]

D'abord bonjour à tous et merci d'avance pour vos réponses. Donc voilà, j'ai un exercice sur les produits scalaires et je ne comprends déjà pas ce que je dois faire et en plus je ne sais pas où je dois appliquer les formules donc si vous pouviez m'aider ce serait sympa.

u et v sont des vecteurs

1). Démontrer que, pour tous vecteurs u et v, on a:

-ll u ll*ll v ll ll u.v ll ll u ll*ll v ll

2). Dans chaque cas, déterminer les 2 nombres qui manquent parmi les 5 suivants:

ll u ll ; ll v ll ; ll u+v ll ; u.v et cos (u;v)

Signaler les impossibilités

a). ll u ll=2 ll v ll=3 u.v=-3 3

B). ll u ll=2 ll v ll=1 u.v=5/2

c). ll u ll= 2 cos(u;v)= -1 u.v=-2

2eme partie à traiter séparément

Soit u et v deux vecteurs non nuls.

On pose (u;v) = (2 )

1). Exprimer (u;-v) en fonction de

En déduire les égalités:

u.(-v) = -(u.v) = (-u).v

2). Démontrer la relation:

u.v= 1/2 (ll u ll² + ll v ll² - ll u - v ll²)

3). Application

On donne AB = 3, AC = 3/2 et AB.AC( AB et AC sont des vecteurs seulement ici) = -9/4

Déterminer l'angle BÂC et la longueur BC

[mycroft]

Bonjour,

Y a du boulot !

Il faut appliquer les propriétés sur le produit scalaire et la norme.

Par exemple avec la première question, où on a je pense u.v au milieu :

1) -1 cos (u,v) 1 (définition)

2) comme ║u║ et ║v║ sont positifs, on a - ║u║ . ║v║ ║u║ . ║v║ cos (u,v) ║u║ . ║v║ (on peut multiplier chaque membre de l'inégalité sans changer son sens)

3) on reconnaît le produit scalaire de u et v dans le membre du milieu, soit : - ║u║ . ║v║ u.v ║u║ . ║v║

La question 2 est incompréhensible.

Bon courage

Mycroft

[Nigel Marven]

Merci pour ta réponse, oui je sais que la question 2 est imcompréhensible mais c'est écrit

Quelques pourrait m'aider à comprendre la question 2?

[mycroft]

La question 2 fait référence à la suite, les "cas" sont les a), B) et c)

Par exemple pour a), les nombres qui apparaissent sont ll u ll, ll v ll et u.v. Donc, parmi les 5, il manque ll u+v ll et cos (u;v).

Pour lever une impossibilité, il faut appliquer les inégalités de la première question.

Avec a), on a : -2 x 3 -3 3 2 x 3 soit -2 - 3 2 ce qui est vrai (donc pas d'impossibilité)

Pour B), on trouve une impossibilité.

Pour c), appliquer la définition du produit scalaire : on trouve que ll v ll = 2/ 2, ce qui est possible (nombre positif).

[Nigel Marven]

Ah ok, je me doutais bien que cette inégalité allait servir, c'est sympa merci .

Ben maintenant il reste plus que la 2ème partie et ce sera bon.

[mycroft]

Bon, allez, pour finir.

2è partie, 1)

Il faut déterminer (même droite mais sens opposé) que (u,-v) = (u,v) + (2 )

Ensuite on s'appuie sur cos(a+ ) = -cos(a). La suite est facile.

2è partie, 2)

Il faut utiliser deux propriétés des produits scalaires :

u_² = ║u║²

le produit scalaire est distributif pour l'addition de vecteur soit u.(v+w) = u.v + u.w ; en particulier (u-v)_² = u² - v²

Utilise ces deux propriétés pour transformer 1/2 (ll u ll² + ll v ll² - ll u - v ll²), tu dois arriver à u.v

Tu y arrives ?

[Nigel Marven]

Ah oui quand même. Ben disons que j'y arrive dans une partie de l'exo mais bon il y a encore quelques endroits flous. Je ne comprends pas trop la question 1 de la partie 2.

Mais franchement merci

[Barbidoux]

1---------------------------------

u.v=||u||*||v||*Cos(u,v)

-1<=Cos(u,v)<=1 et ||u||*||v||>0 d’où

-||u||*||v||||u||*||v||*Cos(u,v) ||u||*||v||

-||u||*||v||<=u.v ||u||*||v||

2-------------------------------

-||u||*||v||<=u.v il manque Cos(u,v) ??

u.v ||u||*||v|| il manque Cos(u,v) ??

---------------------------------

ll u ll=2 ll v ll=3 u.v=-3 3 ==> Cos(u,v)=u.v/(||u||*||v||)=(-3 3)/6=- 3/2 =Cos(-5*:pi:/6) (possible)

ll u ll=2 ll v ll=1 u.v=5/2 ==> Cos(u,v)=5/4 impossible -1 Cos(u,v) <=1

ll u ll= 2; cos(u;v)= -1; u.v=-2 ==>||v||=1 possible

[Barbidoux]

----------------------------------

2ème partie

----------------------------------

(u; v)=

(u; -v)= -

(-u; v)= -

u.(-v)=||u||*||v||*Cos(u,-v)=-||u||*||v||*Cos(u,v)

u,v=||u||*||v||*Cos(u,v)

(-u).v=-||u||*||v||*Cos(u,v)

d’où u.(-v)=-(u.v)=(-u).(v)

----------------------

(u-v)^2=u^2+v^2-2*u.v

(u-v)^2=||u-v||^2

u^2=||u||^2

v^2=||v||^2

donc ||u-v||^2=||u||^2+||v||^2-2*u.v ==> u.v=(||u||^2+||v||^2-||u-v||^2)/2

Comme u.v=||u||*||v||*Cos(u,v) ==>Cos(u,v) =(||u||^2+||v||^2-||u-v||^2)/(2*||u||*||v||)

----------------------------

AB.AC=9/4

AB= 3

AC=3/2 ==> Cos(AB,AC)=9/(4* (3)*3/2)= (3)/2 ==> AB,AC=Pi/6

BC= (3+9/4-2*9/4)= (3/4)= (3)/2

A vérifier..

[Nigel Marven]

Ah c'est super merci beaucoup. Je pense avoir compris maintenant. Encore merci!!!