Des Sommes En Trigonométrie

[charis]

Bonjour à tous,

j'ai un DM de maths à rendre pour mardi et je bloque sur la dernière question

voici le sujet

On donne S = 1 + cosx + cos 2x+ ... + cos nx

et S' = sin x + sin 2x + ... + sin nx

a) montrer que S + iS' = (1 - e(n+1)ix) / ( 1 - eix)

B) factoriser exp (ix(n+1)/2) au numérateur de l'expression S + iS' et e (ix/2) au dénominateur.

c) en déduire une expression de S et S' qui ne fait pas intervenir une somme de n termes

j'ai réussi à faire le a) et le B) mais je ne vois pas comment on peut passer de ce qu'on obtient au B) à l'expression de S et S'

Pouvez vous m'aider s'il vous plait?

merci d'avance

[elp]

le num est e^(i(n+1)x/2)[e^(-i(n+1)x/2)-e^(i(n+1)x/2)]=e^(i(n+1)x/2)[cos(-(n+1)x/2)+isin(-(n+1)x/2)-cos(n+1)x/2-isin(n+1)x/2]=

e^(i(n+1)x/2)[-2isin(n+1)x/2]

de même le déno est

e^(ix/2)[-2isin(x/2)]

Num/Déno= e^(i(n+1)x/2)[-2isin(n+1)x/2]/e^(ix/2)[-2isin(x/2)]=e^(inx/2)[sin(n+1)x/2]/sin(x/2)=

[cos(nx/2)+isin(nx/2)]*[sin(n+1)x/2]/sin(x/2)

la partie réelle [cos(nx/2]* [sin(n+1)x/2]/sin(x/2) donne S et la partie imaginaire sin(nx/2)* [sin(n+1)x/2]/sin(x/2)

donne S'

calculs à vérifier ! (mais la méthode est la bonne)

[charis]

le num est e^(i(n+1)x/2)[e^(-i(n+1)x/2)-e^(i(n+1)x/2)]=e^(i(n+1)x/2)[cos(-(n+1)x/2)+isin(-(n+1)x/2)-cos(n+1)x/2-isin(n+1)x/2]=

e^(i(n+1)x/2)[-2isin(n+1)x/2]

de même le déno est

e^(ix/2)[-2isin(x/2)]

Num/Déno= e^(i(n+1)x/2)[-2isin(n+1)x/2]/e^(ix/2)[-2isin(x/2)]=e^(inx/2)[sin(n+1)x/2]/sin(x/2)=

[cos(nx/2)+isin(nx/2)]*[sin(n+1)x/2]/sin(x/2)

la partie réelle [cos(nx/2]* [sin(n+1)x/2]/sin(x/2) donne S et la partie imaginaire sin(nx/2)* [sin(n+1)x/2]/sin(x/2)

donne S'

calculs à vérifier ! (mais la méthode est la bonne)

[charis]

en fait je ne comprends toujours pas comment tu as factorisé le numérateur...

[elp]

on utilise 2 propriétés:

e^0=1

(e^x)(e^y)=e^(x+y)

soit: M=1-e^x,

on peut écrire M=e^0-e^x=e^(x/2-x/2)-e^(x/2+x/2)=(e^x/2)*(e^-x/2)-(e^x/2)*(e^x/2)=(e^x/2)[(e^-x/2)-(e^x/2)]

c'est la méthode que j'ai employée avec, bien entendu, des exposants un peu plus compliqués.

A plus

[charis]

ça y est, je crois que j'y suis... merci beaucoup pour ton aide!