romano77 Posté(e) le 28 février 2008 Signaler Posté(e) le 28 février 2008 Voici trois exercices issu des Olympiades Anglaises de 1996: EXO 1)Quels sont les 5 chiffres à droite du nombre obtenue en élevant 5 à la puissance 1000? EXO 2)Lorsqu'on ecrit la suite des nombres entier differents de 0 : 1234567891011121314151617.... Quel est le 1000eme chiffre? EXO 3) Une fonction f est definie pour tout nombre entier positif et verifie : f(1)= 1996 f(1)+f(2)+...f(N)=n²f(N) pour tout n>1 Calculer la valeur exacte de f(1996) Bonne Chance :,)
romano77 Posté(e) le 29 février 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 29 février 2008 Voici trois exercices issu des Olympiades Anglaises de 1996: EXO 1)Quels sont les 5 chiffres à droite du nombre obtenue en élevant 5 à la puissance 1000? EXO 2)Lorsqu'on ecrit la suite des nombres entier differents de 0 : 1234567891011121314151617.... Quel est le 1000eme chiffre? EXO 3) Une fonction f est definie pour tout nombre entier positif et verifie : f(1)= 1996 f(1)+f(2)+...f(N)=n²f(N) pour tout n>1 Calculer la valeur exacte de f(1996) Bonne Chance :,)
E-Bahut elp Posté(e) le 29 février 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 29 février 2008 5^1=5 5²=25 5^3=125 5^4=625 5^5=3125 5^6=15625 5^7=78125 5^8=390625 se termine par 90625 5^9 se terminera par 5*90625=453125 dc par 53125 5^10 ---------------------------------53125*5=265625 dc par 65625 5^11-------------------------------65625*5=328125--------------28125 5^12---------------------------------------140625-----------------40625 5^13-------------------------------40625*5=203125--------------03125 5^14--------------------------15625 comme 5^6 . on voit arriver une période de terminaisons (5^n et 5^(n+8) vont se terminer de la même façon) 5^15--------------------------------------------------5^7 5^16--------------------------------------------------5^8 5^8, 5^16, 5^24, 5^(8*k) se terminent par 90625 et comme 1000=125*8, 5^1000 se termine par 90625 ------------------------------------------------------------------------- pour le 2) les nombres à 1 chiffre: 1,2...9 occupent les 9 premiers rangs les 90 nombres à 2 chiffres: 10, 11 ...99 occupent les 90*2=180 rangs suivants (en tout 189 rangs occupés) le 1er nombre à 3 chiffres (100) commence au 190è rang, chacun de ces nombres occupe 3 places 1000-190=810 810/3=270 le 270è nbre à 3 chiffres après 100 est 370 et le 3 de 370 est au 1000è rang ------------------------------------------------------------------------------------------------ f(1)+f(2)+f(3)+...f(n)=n²*f(n) dc f(1)+f(2)=f(3)+....f(n-1)=n²*f(n)-f(n)=(n²-1)*f(n) mais f(1)+f(2)+...f(n-1)=(n-1)²*f(n-1) on a donc (n²-1)*f(n)=(n-1)²*f(n-1) f(n)=(n-1)²*f(n-1)/(n²-1)=[(n-1)/(n+1)]*f(n-1) de même f(n-1)=[n-2)/n]*f(n-2) f(n-3)=[(n-3)/(n-1)]*f(n-4) etc on a dcen remplaçant de proche en proche f(n)=[(n-1)/(n+1)]*[(n-2)/n]*[(n-3)/(n-1)]*[(n-4)/(n-2)]*[(n-5)/(n-3)]*.......[3/5]*[1/3]*f(1) f(n)=[(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)...3*2*1]/[(n+1)*n*(n-1)*(n-2)........3]*f(1) il y a des simplifications (ça se voit mieux quà l'écran qd on écrit les quotients sur une feuille) et il reste f(n)=[2/(n+1)*n]*f(1)=2*f(1)/[n*(n+1)] f(1996)=2*1996/(1996*1997)=2/1997
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