Dm De Maths Ts (nombres Complexes)

[Hima83]

Bonsoir,

Je poste ce message car j'ai un dm à faire pour la semaine prochaine et j'ai quelques ( grandes ) difficultés avec les exercices :x

Exercice 1:

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u, v). On considère le point A d'affixe 1 et, pour tout réel θ appartenant à [0 ; 2pi[, le point M d'affixe z= e^iθ. On désigne par P le point d'affixe 1 + Z et par Q celui d'affixe z².

1. A partir du point M, donnez une construction géométrique du point P, du point Q. Placez les points O, A, M, P et Q sur une même figure.

2. Trouvez l'ensemble des points P lorsque θ décrit l'intervalle [0; 2pi[. Représentez-le.

3. S est le point d'affixe 1 + z + z², où z désigne toujours l'affixe du point M.

a ) Construisez S en justifiant la construction.

b ) Dans le cas où S est différent du point O, tracez la droite (OS). Quelle conjecture faites-vous sur la position du point M ?

c ) Démontre que le nombre (1 + z + z²) / z est réel quelque soit θ appartenant à [0; 2pi[.

Concluez sur la conjecture précédente.

Voila pour le premier exercice, et j'affiche le second.

Exercice 2 :

Le plan complexe est muni d'un repère (O; u, v) orthonormal direct ; A, A', B et B' sont le spoints d'affixes respectives 1, -1, i, -i.

A tout point M, d'affixe z, distinct de O, A, A', B et B' on associe le spoints M1 et M2 d'affixes z1 et z2 tels que les triangles BMM1 et 1MM2 sont rectangles et isocèles tels que :

(M1B(vecteur),M1M(vecteur)) = (M2M(vecteur),M2A(vecteur) = Pi/2

1. Faites une figure.

2. a ) Justifiez les égalités :

z - z1 = i(i - z1) et 1 - z2 = i(z - z2).

b ) Vérifiez que z1 et z2 peuvent s'écrire sous la forme :

z1 = ((1+i)/2) x (z + 1) et z2 = ((1-i)/2) x (z + i).

3. On se propose de trouver les points M tels que le triangle OM1M2 est équilatéral.

a ) Prouvez que OM1 = OM2 équivaut à |z + 1| = |z + i|.

Déduisez-en l'ensemble Δ des points M tels que OM1 = OM2. Tracez Δ.

b ) Prouvez que OM1 = M1M2 équivaut à |z + 1|² = 2|z|².

c ) Déduisez-en l'ensemble Г despoints M tels que OM1 = M1M2. Tracez Г.

d ) Déduisez-en les deux points M pour lesquels OM1M2 est un triangle équilatéral. Placez-les.

Voila pour le second sujet, j'éspère que c'est compréhensible pour vous, les '1' et '2' de OM1M2 sont en indices, mais cela n echange pas grand chose Merci d'avance pour vos éventuelles aides

[Barbidoux]

Exercice 1:

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u, v). On considère le point A d'affixe 1 et, pour tout réel ? appartenant à [0 ; 2 [, le point M d'affixe z= e^i . On désigne par P le point d'affixe 1 + Z et par Q celui d'affixe z2.

1. A partir du point M, donnez une construction géométrique du point P, du point Q. Placez les points O, A, M, P et Q sur une même figure.

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z=exp(i* )= Cos() +i*Sin()

P=z+1 se construit par translation du vecteur OM en amenant en A le poitn O de ce vecteur ou directement en utilisant le veteur OP {1+Cos(); Sin()}

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2. Trouvez l'ensemble des points P lorsque décrit l'intervalle [0; 2 [. Représentez-le.

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Cercel de centre A{1; 0} et de rayon R=1

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[Barbidoux]

3. S est le point d'affixe 1 + z + z², où z désigne toujours l'affixe du point M.

C(est les point d’affixe 1+Cos() +Cos(2*) +i*(Sin()+Sin(2*))

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a ) Construisez S en justifiant la construction.

P=1+z+z² se construit par translation {1+Cos(); Sin()} du vecteur OQ en amenant en P le point O de ce vecteur ou directement en utilisant le vecteur OS {1+Cos() +Cos(2*) ; (Sin()+Sin(2*))

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b ) Dans le cas où S est différent du point O, tracez la droite (OS). Quelle conjecture faites-vous sur la position du point M ?

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Il est alligné avec les point O et S ==> k*OM=OS

[Barbidoux]

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c ) Démontre que le nombre (1 + z + z²) / z est réel quelque soit appartenant à [0; 2 [.

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x=

Cos(2*x)=Cos²(x)-Sin²(x)=

Sin(2*x)=2*Cos(x)*Sin(x)

1+z+z^2=1+Cos(x) +Cos(2*x)+i*( (Sin(x)+Sin(2*x))=1+Cos(x) +Cos²(x)-Sin²(x)+i* (Sin(x)+2*Cos(x)*Sin(x)

)

=Cos(x) +Cos²(x)+ +i*( (Sin(x)(1+2*Cos(x)) =Cos(x) *(1+Cos(x))+i*( (Sin(x)(1+2*Cos(x))=(1+Cos(x))*(Cos(x)+i*Sin(x))=(1+Cos(x))*z

1+z+z^2=(1+Cos(x))*z

il s’en suit que (1+Cos(x))*OM=OS et les points O Met S sont alignés.

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[Hima83]

Le '?' est un Teta, j'ai importé les lettres spéciales de words, je n'avai pas vu qu'il y avait possibilité d'insérer des caractères spéciaux directement dans le message :x

Sinon merci beaucoup pour votre aide, je n'ai pas le temps de m'y atteler ce soir, mais je vérifie dès demain, encore merci =)

[Hima83]

Au faite, avec quel logiciel réalisez vous ces figures géométriques ?

[Barbidoux]

Au faite, avec quel logiciel réalisez vous ces figures géométriques ?

[Hima83]

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c ) Démontre que le nombre (1 + z + z²) / z est réel quelque soit appartenant à [0; 2 [.

--------------------------

x=

Cos(2*x)=Cos²(x)-Sin²(x)=

Sin(2*x)=2*Cos(x)*Sin(x)

1+z+z^2=1+Cos(x) +Cos(2*x)+i*( (Sin(x)+Sin(2*x))=1+Cos(x) +Cos²(x)-Sin²(x)+i* (Sin(x)+2*Cos(x)*Sin(x)

)

=Cos(x) +Cos²(x)+ +i*( (Sin(x)(1+2*Cos(x)) =Cos(x) *(1+Cos(x))+i*( (Sin(x)(1+2*Cos(x))=(1+Cos(x))*(Cos(x)+i*Sin(x))=(1+Cos(x))*z

1+z+z^2=(1+Cos(x))*z

il s'en suit que (1+Cos(x))*OM=OS et les points O Met S sont alignés.

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[Barbidoux]

Dans cette partie ci, vous oubliez le +1 et le -sin²(x) non? Ou sont-ils passez dans une formule ? Ce calcul est assez compliqué pour moi car les formules trigonométriques sont difficiles à manipuler :-/ Si vous pouviez détailler un peu plus, cela m'aiderait beaucoup, merci.

[Hima83]

Merci beaucoup, je retombe bien sur mes pieds maintenant =) Et j'ai même compris en plus! ^^ Enfin je crois

[Hima83]

Désolé d'user de votre gentillesse, mais auriez vous une idée pour traiter l'exercice 2 s'il vous plait ? :$