Figure Et Nombres Complexes

[versatis]

Bonjour,

Qui peut m'aider dans mon dm qui me cause du soucis:

ABC est un triangle de sens direct.

On construit les carrés de sens direct BAED, CBGF et ACHK.

On note P, Q et R les centres respectifs des carrés CBGF, ACHK et BAED.

Il s'agit de démontrer que AP = RQ et que (AP) est perpendiculaire à (RQ).

Méthode guidée :

On choisit un repère orthonormal direct d'origine A.

L'affixe de A est nulle. On note b, c, p, q et r les affixes respectives des points B, C, P, Q et R dans ce repère.

1.Démontrer que 2r = b(1 — i) et 2q = c(1 + i).

2.Montrer que 2p = b+c+i(b-c).

3. Trouver une relation entre les complexes q — r et p. Conclure.

Merci d'avance

[elp]

R milieu de [AD] dc r=(a+d)/2 et 2r=a+d=d (car a=0)

AD=AB*rac(2) (en longueur)

angle de vect(AB,AD)=-pi/4

on a dc (d-a)=(b-a)*rac(2)*e^- i pi/4

d=b*rac(2)*(cos -pi/4 + i*sin-pi/4)

d=b*rac(2)*[rac(2)/2-irac(2)/2]

d=b*(1-i) dc

2r=b*(1-i)

même méthode pour 2q=c(1+i)

P est le milieu de [CG] dc AP=(AC+AG)/2 (en vecteurs)

2AP=AC+AG=AC+AB+BG

en longueur: BG=BC et (BC,BG)=-pi/2

g-b=(c-b)*(cos -pi/2 +i*sin -pi/2)

g-b=(c-b)*(-i)

2AP=AC+AG=AC+AB+BG dc

2(p-a)=(c-a)+(b-a)+(g-b)=c-0+b-0+(c-b)(-i)=b+c+(b-c)*i

2q-2r=c(1+i)-b(1-i)=(c-b)+i(c+b)

q-r=[(c-b)/2+i(c+b)/2]

p-a=[(b+c)/2+i(b-c)/2]

le module de q-r=(c-b)²/4+(c+b)²/4 et celui de p-a est (b+c)²/4+(b-c)²/4 dc égalité dc AP=QR (les longueurs)

RQ((c-b)/2;(c+b)/2)

AP((b+c)/2; ((b-c)/2)

le pd scalaire est (c-b)(c+b)/4+(c+b)(b-c)/4=0 dc vecteurs orthogonaux

autre solution

on remarque que : (q-r)*i=[(i(c-b)/2-(c+b)/2]=-(p-a) dc orthogonalité

[versatis]

Bonjour,

Merci encore une fois Elp pour tes réponses.

Quelques trucs que je ne comprends pas:

Au début tu fais:

AD=AB*rac(2) (en longueur) -> laje ne vois pas comment tu trouves ça...

et ensuite tu fais

on a dc (d-a)=(b-a)*rac(2)*e^- i pi/4 --> pourquoi tu multiplie par la forme exponentielle ??

Merci d'avance

[elp]

la diagonale d'un carré de côté a est a*rac(2)

l'angle de la diagonale avec un côté est pi/4

pour "obtenir" la diagonale à partir du côté:

1) tu multiplie le côté par rac(2) (module * rac(2))

2) tu fais tourner de -pi/4 (l'argument +(-pi/4 ---> * e^(-i pi/4)

ce sont les 2 réponses à tes 2 questions

A plus

[versatis]

ok donc j'ai essayé de faire la méthode avec 2q =c(1+i)

problème, j'arrive a 2q = c(1-i)

Voila que ce que jai fais:

Q millieur de AH

donc q = (a + h) / 2 et 2q = h

AH = AC * V2

(AC , AH) = -pi/4

(h-a) = (c-a) * V2 * e^-i pi/4

h = c * V2 * [V2 - iV2]

2q = c(1-i)

A u faite pour trouver V2 y a t-il un moyen de le démontrer, pythagore je pense mais je vois pas de quelle facon?

[elp]

(AC,AH) c'est plutôt +pi/4 et avec ça tu vas trouver ce qu'il faut !

pour le rac(2), ça se démontre avec Pythagore en 3è donc c'est considéré comme connu par un éléve de terminale et je pense que tu n'as pas à le démontrer (sinon, il faudrait aussi démontrer que l'angle fait pi/4 etc..., et là, on n'est pas couché comme on dit à la télé )

[versatis]

Petite question pour lé début de la 2) pourquoi:

"P est le milieu de [CG] dc AP=(AC+AG)/2 (en vecteurs)"

d'ou tu trouves AP=(AC+AG)/2 et pourquoi en vecteurs?

[elp]

si P est le milieu de [CG] alors pour tout pt M, on a MP=(MC+MG)/2 (ici j'ai choisi M=A)

c'est une propriété de seconde (je crois)

démo

P milieu de [CG]

M quelconque

soit N le sym de M/P

MGNC est dc un parallélogramme et MG=CN

MC+MG=MC+CN =MN=2MP car P milieu de [MN]

on a dc MP=(MC+MG)/2

[versatis]

Merci beaucoup pour cette réponse, encore une questions:

Da

[versatis]

Merci beaucoup pour cette réponse, encore une questions:

Dans la question 3 quand tu fais le passage au module comment fais tu:

"le module de q-r=(c-B)²/4+(c+B)²/4 et celui de p-a est (b+c)²/4+(b-c)²/4 dc égalité dc AP=QR (les longueurs)" d'habitude y a des racines...

[elp]

le module de q-r=(c-b)²/4+(c+b)²/4 et celui de p-a est (b+c)²/4+(b-c)²/4

j'ai écrit trop vite !

il faut écrire le module de q-r=RAC((c-b)²/4+(c+b)²/4) et celui de p-a est RAC( (b+c)²/4+(b-c)²/4) et le reste ne change pas ...

[versatis]

Ok merci je commence a bien tout comprendre, juste une derniere question

la relation entre q-r et p ca me donne

q-r = p ou pas?

[elp]

non

on a (q-r)*i=-(p-a) mais a=0 (car A=origine) dc (q-r)*i=-p dc (q-r)*i=i²*p dc q-r=i*p

Bonne fin d'exercice (ça fait plaisir de t'aider car tu cherches à tout comprendre )

A plus tard.