Plan Complexe, Points Invariants

[versatis]

Bonjour,

Qui peut m'aider a faire mon DM ou j'ai quelques difficultés:

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;,). (On prendra 2 cm pour unité graphique).

On considère les points A d'affixe 2i, B d'affixe 2 et I le milieu de [AB].

A tout point M du plan d'affixe z distincte de 2i on associe le point M' d'affixe z' tel que z'= 2z / (z-2i)

1.a) Montrer qu'il existe comme points invariants le point O et un deuxième point dont on précisera l'affixe.

b) Déterminer les images des points B et I.

2. Soit M un point quelconque distinct de A et de O. Montrer que OM' = 2 MO/MA et ( , ) = ( , ) (2)

3.Soit la médiatrice de [OA]. Montrer que tous les points de ont leurs images sur un cercle C que l'on précisera.

4.Soit le cercle de diamètre [OA]. M est un point de , différent de A.

Prouver que son image M' est située sur une droite D que l'on précisera.

5. Tracer , , C et D sur une même figure.

Merci d'avance

[elp]

1a

A(2i) B(2) I(i+1)

pt invariant ssi z'=z (z différent 2i)

z=2z/(z-2i)

z²-2iz=2z

z²-2iz-2z=0

z[z-(2i+2)]=0

2 solutions z= 0 et z=2+2i

1b

image de B?

on a z=2 dc z'=4/(2-2i)=2/(1-i)=2(1+i)/(1-i)(1+i)=2(1+i)/2=1+i

B'=I

image de I ?

z=1+i

z'=(2+2i)/(1+i-2i)=2(1+i)/(1-i)=2(1+i)²/(1-i)(1+i)=(1+i)²=2i

I'=A

2)

z=affixe de vecteur OM

z-2i= affixe du vecteur AM

z'=affixe vecteur OM'

z'=2z/(z-2i) dc module de OM'=2*module OM/module MA

OM'=2OM/MA

arg(z')=arg(2z)-arg(z-2i)=arg(z)-arg(z-2i)=(u,OM)-(u,AM)=(u,OM)+(AM,u)=(AM,OM)=(MA,MO)

(u,OM')=(MA,MO)

3)

delta médiatrice de [OA]

tout point M de delta est équidistant des pts A et O dc MA=MO dc puisque OM'=2OM/MA alors OM'=2MA/MA=2

M' est dc sur le cercle de centre O de rayon 2

4)

M point du cercle de diamètre [OA] dc triangle MOA rectangle en M dc (MA,MO)=pi/2 ou -pi/2 (2pi)

puisque (MA,MO)=(u,OM') alors (u,OM')=pi/2 ou -pi/2 dc M' est sur la perpendiculaire à u passant par O, (qui est l'axe des ordonnées)