Trigonometrie

[nasridu62]

slt g un exo en math ou g rien compri du tout si pouviez m'aider sa serai sympa

voila le sujet:

On considère trois nombres réels a,b et c tels que:

0<a<pi/2, 0<b<pi, 0<c<pi, a+b+c=pi.

1) Etablir la relation cos b x cos c = (cos(b-c) -cos a)/2.

2) En déduire que: cos a x cos b x cos c ((1-cos a) cos a)/2 , l'égalité n'ayant lieu que pour b=c.

3)Montrer que cos a x cos b x cos c 1/8, l'égalité n'ayant lieu que pour a=b=c=pi/3.

On pourra étudier le sens de variation de la fonction définie sur [0;1] par f(x)= (1-x)x.

4)Etant donné un triangle ABC dont les angles sont notés A,B et C avec un accent, montrer que le produit cos A x cos B x cos C est inferieur ou égal à 1/8 et que cos A x cos B x cos C = 1/8 équivaut à "le triangle ABC est équilatéral".

voila je c'est que c'est long mais j'y compren vraimen rien merci d'avance.

[elp]

1)

cos(b)*cos©=(1/2)*[cos(b+c)+cos(b-c)]=(1/2)[cos(pi-a)+cos(b-c)]=(1/2)*[cos(b-c)-cos(a)] (on a utilisé a+b+c=pi)

2)

cos(b-c)<=1 (égalité que pour b-c=0 dc qd b=c

cos(b-c)-cos(a)<=1-cos(a)

cos(a)*[cos(b-c)-cos(a)]<=cos(a)*(1-cos(a)) car cos(a) >=0 puisque a entre 0 et pi/2

dc cos(a)cos(b)cos©=cos(a)(1/2)[cos(b-c)-cos(a)](1/2)cos(a)[1-cos(a)] (et égalité qd b=c)

3)

on pose x=cos(a) dc x entre 0 et 1

cos(a)cos(b)cos©(1/2)(1-x)*x

f(x)=(1/2)x(1-x)=(1/2)(x-x²)

f'(x)=(1/2)(1-2x)

on fait un tableau de variation

x 0 1/2 1

f'x) + 0 -

f(x) 0 1/8 0

le max de f(x) est 1/8

cos(a)cos(b)cos©(1/2)(1-x)x<=1/8

cos(a)cos(b)cos©(1/2)cos(a)[1-cos(a)]<=1/8

on a l'égalité que pour b=c et x=cos(a)=1/2

dc a=pi/3

b+c=pi-a=2pi/3 et b=c fait que b=(2pi/3)/2=pi/3

finalement a=b=c=pi/3

ds le triangle ABC, A+B+C=pi

on ne peut avoir 2 angles >=pi/2

on peut donc dire que par exemple A entre 0 et pi/2 et les 2 autres entre 0 et pi

en utilisant ce qui précède cos AcosBcosC<=1/8 et égalité que pour A=B=C=pi/3

[quentin62]

Excusez moi je ne comprend pas ce passage de calcul :

cos(B)*cos©=(1/2)*[cos(b+c)+cos(b-c)]

Pourriez-m'eclairer ?

Merci

[quentin62]

Merci mais je viens de trouver par moi même

A+