Le Pentagone

[versatis]

Bonjour

Qui peut m'aider a faire mon DM ou je suis bloqué:

On considère le complexe z = cos((2)/5) + i sin ((2)/5) = e^((2)/5)

1. Vérifier que z⁵ - 1 = 0 , puis que 1 + z + z² +z³ + z⁴ = 0

2.a. Exprimer z², z³, z⁴ sous forme trigonométrique.

b. Montrer que z + z⁴ = z + = 2cos((2)/5) et z²+z³ = z²+ = 2cos((4)/5)

3.a. Utiliser les résultats précédents pour trouver une relation entre cos((2)/5) et cos((4)/5)

b.Montrer que cos((2)/5) est solution de l'équation 4x² + 2x — 1 = 0

c.En déduire la valeur exacte de cos((2)/5)

d. Utiliser le résultat précédent pour trouver une construction à la règle et au compas du pentagone régulier.

Merci d'avance pour votre aide!

[elp]

z=exp(i*2pi/5)

z^5=exp[(i*2pi/5)*5]=exp(i*2pi)=cos(2pi)+isin(2pi)=1

on a dc z^5-1=0

z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1) (il suffit de développer pour vérifier)

z^5-1=0 ssi (z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)

comme z n'est pas égal à 1, on a z^4+z^3+z^2+z+1=0

z²=exp(i*4pi/5)

z^3=exp(i*6pi/5)

z^4=exp(i*8pi/5)=cos(8pi/5)+isin(8pi/5)=cos(10pi/5-2pi/5)+isin(10pi/5-8pi/5)=cos(2pi-2pi/5)+isin(2pi-2pi/5)=cos(2pi/5)-isin(2pi/5)=zbarre

dc z+z^4=z+zbarre=2*cos(2pi/5)

même méthode pour z²+z^3

z^4+z^3+z^2+z+1=0

dc en utilisant ce que l'on vient de trouver

2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5)+1=0

mais cos(4pi/5)=cos(2*2pi/5)=2cos²(2pi/5)-1

dc 2x+2(2x²-1)+1=0

2x+4x²-2+1=0

4x²+2x-1)=0

2 racines mais une seule convient (rac(5)-1)/4

je ne sais pas si c'est la solution la plus simple mais ça marche

construire un tr rectangle dont les côtés perpendiculaires mesurent 1 unité et 2 unités

l'hypoténuse mesure dc rac(5)

on enlève une unité dc on a un segment de rac(5)-1

on le partage en deux en traçant sa médiatrice puis on partege une moitié obtenue en deux par le même procédé

on a un segment de (rac(5)-1)/4

on construit un tr rectangle dt un côté perpendiculaire est le segment obtenu et dont l'hypoténuse est 1 unité.

on obtient un angle de 2pi/5 et on peut construire le pentagone

[versatis]

Merci une nouvelle fois elp!

Alors quelques soucis:

Dans la question 1) pourquoi dis tu que z ne peut être égale à 1.

pour la 2) voici les formes trigo que je trouve:

z² = (cos 4/5 + i sin 4/5)

z³ = (cos 6/5 + i sin 6/5)

(le calcul avec z⁴ fallait y penser !)

Méme méthode pour z³

= cos (6/5) + i sin (6/5)

= cos (10/5 - 4/5) + i sin (10/5 - 4/5)

= cos (4/5) - i sin (4/5) = z² barre

Pour la question 3)a) je comprends la première relation que tu trouves: 2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5)+1=0

mais je ne comprens pas ensuite quand tu fais ceci:

"mais cos(4pi/5)=cos(2*2pi/5)=2cos²(2pi/5)-1"

et ensuite comment tu trouves "dc 2x+2(2x²-1)+1=0"

Pourquoi une seul racine convient?

Merci d'avance

[elp]

z=exp(i*2pi/5)

dc z différent de 1

pour tout x: cos(2x)=2cos²x-1 (formule de duplication)

On sait que z^4+z^3+z^2+z+1=0

on remplace z^4+z par 2*cos(2pi/5)

on remplace z^3+z² par 2*cos(4pi/5) (résultats trouvés avant)

on a dc

2*cos(4pi/5)+2cos(2pi/5)+1=0

cos(4pi/5)=2*cos²(2pi/5)-1 formule de duplication 4pi/5=2*2pi/5)

en posant cos(2pi/5)=x on obtient: cos(4pi/5)=2*cos²(2pi/5)-1=2x²-1

2*cos(4pi/5)+2cos(2pi/5)+1=0

2(2x²-1)+2x+1=0

4x²+2x-1=0

pour x il y a 2 valeurs possibles mais une seule peut être la valeur de cos (2pi/5) (celle qui est positive !)

[versatis]

Merci beaucoup pour l'aide!

Au niveau de la construction, les cotés du pentagone mesurent (rac(5)-1)/4 ? et forment toujours un angle de 2pi/5 (72°) ??

[elp]

le côté ne mesure pas ce que tu as écrit

l'angle au centre du pentagone régulier est 72°

le but est de te faire construire un tel angle

pour cela tu peux construire un tr rectangle d'hypoténuse 1 unité et dont un autre côté mesure (rac5-1)/4.

je t'ai donné un moyen de construire un segment de longueur (rac5-1)/4

Par ailleurs, il y a un autre ex dans le forum qui donne une construction, c'est celui de Valbuenado62 (hier je crois).

[versatis]

Ok merci encore !!