Exercice Application De La Dérivée

[julien59]

j'ai cette exercice mais je n'y arrive pas, j'éspere que vous pourrez m'aider. merci.

ABCD est un carré de côté 1 . les points E et F appartiennent respectivement à la demi-droite [Ax) et au segment DC et vérifient AE = CF. I est le point d'intersection des droites AB et EF.

on pose AE = x.

1) démontrer que AI = (x -x²)/(x+1)

2) determiner la position du point E pour que la distance AI soit maximale ?

3) determiner la position du point E qui rend l'aire du triangle AIE maximale ?.

merci de votre aide.

[Barbidoux]

Les triangles EAI et EDF sont semblables ==> AI/DF=AE/ED ==> AI=DF*AE/ED =x*(1-x)/(1+x)=f(x)

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2) déterminer la position du point E pour que la distance AI soit maximale ?

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f’(x)=-(x^2+2*x-1)/(1+x^2) définie sur R-{-1}

f’(x) est une équation du second degré qui admet deux racines x=-1- 2 et x=-1+ 2

..............................-1- 2...........-1..............-1+ 2.....

(x^2+2*x-1)..(-)........(0).......(+).............(+)...........(0).....(-)

(1+x^2)........(+)...................(+)....||.......(+)..................(+)

f’(x)...............(-).........(0)......(+)....||.......(+)...........(0)....(-)

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f(x)............decr........min.....crois.........crois...........Max.......decr

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3) déterminer la position du point E qui rend l'aire du triangle AIE maximale ?.

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Aire de AIE = AE*AI/2=x^2*(1-x)/(1+x)=g(x)

g’(x)=x*f’x) et la fonction pase par un maximum pour la même valeur de x soit -1+ 2

.............................-1- 2...........-1..............(0)...-1+ 2........

x....................(-).................(-).............(-).......(0)...(+).........(+)

(x^2+2*x-1).(-)........(0).....(+)............(+)..............(+)...(0)..(-)

(1+x^2)........(+)................(+).......||...(+)..............(+)........(+)

g’(x).............(+).........(0).....(-)........||...(-).......(0)....(+).(0)..(-)

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g(x)...........crois.......max...decr.........decr......min..crois...max...decr