nilo71 Posté(e) le 25 janvier 2008 Signaler Posté(e) le 25 janvier 2008 Bonjour , je viens juste de commencer ce chapitre et je suis donc complètement bloqué face à cet exercice je remercie par avance tous ceux qui m' apporterons leur aide L'objectif du problème est de construire et d'étudier les propriètés d'une spirale obtenue à partir d' un carré A)construction Dans un repère orthogonal direct (O,i,j)le carré OABC est défini par les coordonnées des points A(-1;0)B(-1;-1)C(0;-1) les rotations d' angle /2et de centres respectifs O,A,B,C sont notées r0, rA ,rB,rC . 1) Placez le point M0=c ,puis M1,M2,M3,M4 tels que: r0(Mo)=M1 rA(M1)=M2 rB(M2)=M3 rc(M3)=M4 2)Continuez le processus avec M5, M6, M7, M8,etc......avec r0(M4)=M5 rA(M5)=M6 rB(M6)=M7 rC(M7)=M8 B)Des alignements 1)Démontrez que les vecteurs OM0 et OM4 sont colinéaires et de meme sens. Justifiez qu' il en est de meme pour les vecteurs OMo, OM4,OM8 ,OM12..... 2)Enoncez un résultat analogue à partir des points : M1,M5,M9.....;M2,M6,M10,.....;M3,M7,M11...... 3)Sur quelles demi-droites se trouvent M20? M2001? C)Calculs de longueurs de segments 1)Démontrez que M0M4=4 2)Démontrez en utilisant les rotations que : M0M4=M1M5=M2M6=M3M7=....... Ainsi pour tout entier k ,MkMk+4 est constant . D)Calculs de longueurs d' arcs La spirale est formée des arcs de cercles consecutifs M0M1 ,M1M2 ,......Mn-1Mn.(arcs de cercles ) On note Ln la longueur de trajet de M0 à Mn . 1) Calculez L9 2) Démontrez que Ln =( /2) [1+2+.....+n] 3) Exprimez Ln en fonction de n . 4) Peut -on trouver un point Mn sur la spirale tel que la longueur Ln soit égale à la distance parcourue en neuf tours du cercle trigonométrique ?
nilo71 Posté(e) le 27 janvier 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 27 janvier 2008 SVP pouvez vous me repondre: je bloque totalement et c est tres important pour moi merci d avance
nilo71 Posté(e) le 27 janvier 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 27 janvier 2008 je sais que mon exercice peut paraitre trop long mais il faut vraiment m aider
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 28 janvier 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 28 janvier 2008 ---------------------------------- ----------------------------------- 1)Démontrez que les vecteurs OM0 et OM4 sont colinéaires et de meme sens. On constate que : r0(Mo)=M1 ==> ||0M1||/||OM0||=1, (0M1,OM0)=Pi/2 rA(M1)=M2==>||AM2||/||AM1||=1||AM2||/||AO+OM1||==>||AM2||=2 et (AM2,OM0)=Pi rB(M2)=M3 ==>||BM3||/||BM2||=1=||BM3||/||BA+M2||==>||BM3||=3 et (BM3,OM0)=2*Pi/3 rc(M3)=M4 ==>||CM4||/||CM3||=1=||CM4||/||CB+BM3||==>||CM4||=4 et (CM4,OM0)=2*Pi Donc les vecteurs CM4 et OM0 sont colinéaire et le rapport de leur module vaut 4 en continuant r0(M4)=M5 ==> ||OM5||/||OM4||=1=||OM5||/||OC+CM4|| ==>||OM5||=5, (OM5,OM0)=Pi/2+2*Pi Donc les vecteurs OM5 et OM1 sont colinéaire et l’on démontreraist de même que les vecteurs OM6, OM2 puis OM7, OM3, OM8, OM4 et pmus généralement OM(k+4), OMk sont colinéaires --------------------------------- 3)Sur quelles demi-droites se trouvent M20? 20 étant un multiple de 4, OM20 est colinéaire de OM0 (droite OC) 2001 etant égal à 2000 (multiple de 4) +1 OM20001 colinéaire de OM1 (Droite AO) ----------------------------------------- C)Calculs de longueurs de segments ----------------------------------------- 1)Démontrez que M0M4=4 (traité à la première question OM4-OM0=5-1=4) De même OM5-OM1=M1M5=5-1=4, AM6-AM2=M2M6=4, CM7-CM3=M3M7=4 et plus généraleemnt MKMK+4=4 ----------------------------------------- D)Calculs de longueurs d' arcs La spirale est formée des arcs de cercles consecutifs M0M1 ,M1M2 ,......Mn-1Mn.(arcs de cercles ) On note Ln la longueur de trajet de M0 à Mn Un arc de cercle vaut r* . L’arc L1=M0M1 (cercle de centre O et de rayon 1) vaut Pi/2, le suivant L2=M1M2 vaut 2*Pi/2 (cercle de centre A et de rayon 2, le suivant L3=M2M3 vaut 3*Pi/2 (cercle de centre B et de rayon 3), L9=(Pi/2)*(1+2+3+4+5+6+7+8+9) Ln =(Pi/2)*[1+2+.....+n] ----------------------------------------- 3) Exprimez Ln en fonction de n . La somme des entiers de 1 à n vaut n*(n+1)/2 d’où Ln=(Pi/2)*n*(n+1)/2 ----------------------------------------- 4) Peut -on trouver un point Mn sur la spirale tel que la longueur Ln soit égale à la distance parcourue en neuf tours du cercle trigonométrique ? Dans ce cas Ln=1*9*2*Pi=18*Pi=(Pi/2)*n*(n+1)/2 ==>n^2+n-72=0 cetet équation admet deux racines n=-9 et n=8. Le point de la spirale est M8 ppur lequel : L8=(Pi/2)*(1+2+3+4+5+6+7+8)=36*Pi/2=18*Pi.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 29 janvier 2008 E-Bahut Signaler Posté(e) le 29 janvier 2008 Une figure un peu plus explicite peut être....
nilo71 Posté(e) le 29 janvier 2008 Auteur Signaler Posté(e) le 29 janvier 2008 meci beaucoup pour cette aide precieuse. je crois que j ai mieux compris cet exercice.
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