Dm Fonction Logarythme

[ronelien]

Exercice

F(x) = 1/2x + 2 + ln( (x-1)/(x+1) )

1) déterminer l'ensemble de definition de f et étudier les limites aux bornes de cet ensemble ( 4 calculs )

2) Calculer f '(x) et tableau de variations de f

3)Montrer que la courbe Cf admet en +infini et -infini une asymptote oblique delta et préciser la position de Cf par rapport à delta

4) construire Cf et delta ( unité 1cm)

5) Montrer que le point oméga ( 0, 2) est centre de symétrie de Cf

Pouvez vous m'aider s'il vous plait ? merci d'avance pour votre réponse

[ronelien]

Pouvez vous m'aider s'il vous plait ? merci d'avance pour votre réponse

[Barbidoux]

f(x) = (1/2)*x + 2 + ln((x-1)/(x+1))

1) ensemble de définition et limites

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] -, -1[ ]1, [

Lorsque x-> - (1/2)*x -> - et ln((x-1)/(x+1))->0 d'où f(x) -> -

Lorsque x-> -1^- (1/2)*x -> -1^- et ln((x-1)/(x+1))->ln(-2^-/(0^-)

Lorsque x-> 1⁺ (1/2)*x -> 1⁺ ln((x-1)/(x+1))->ln(0⁺/2⁺) -

Lorsque x-> 1/(2*x) -> et ln((x-1)/(x+1))->0 d'où f(x) ->

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2) Calculer f '(x) et tableau de variations de f

f(x)=(1/2)*x+2+ln((x-1)/(x+1))=(1/2)*x)+2+ln(x-1)-ln(x-1)

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f'x=(1/2)+1/(x-1)+1/(x+1)=(3+x²)/(2*(x²-1))

f'(x) >0 dans l'intervalle de définition de la fonction f(x) la fonction est croissante.

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3)Montrer que la courbe Cf admet en +infini et -infini une asymptote oblique delta et préciser la position de Cf par rapport à delta

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Lorsque x-> - ln((x-1)/(x+1))->0⁺ f(x) -> (1/2)*x+2 et y=(1/2)*x+2 est l'asymtote de f(x) vers laquelle elle tend par valeurs positives (0⁺) (y=(1/2)*+2<f(x))

Lorsque x-> ln((x-1)/(x+1))->0^- f(x) -> (1/2)*x+2 et y=(1/2)*x+2 est l'asymtote de f(x) vers laquelle elle tend par valeurs negatives (0^-) (y=(1/2)*x+2>f(x))

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4) construire Cf et delta

5) Montrer que le point oméga ( 0, 2) est centre de symétrie du graphe de f(x)

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g(x)=f(x)-2 est une fonction impaire (g(-x)=-g(x)) donc {0,2} est centre de symétrie du graphe de f(x)

[ronelien]

MERCI beaucoup !!!