Complexes Et Suites

[audrey19]

Bonjours je suis en terminale S et je n'arrive pas du tout a faire cet exercice.. Ce serait gentil de m'aider a faire le début au moins car la je ne sais pas du tout comment faire. S'il vous plait merci d'avance

Soit t un nombre réel appartenant à . Pour tout entier n, non nul on pose

. 1. Calculer le nombre complexe : Cn(t)+iSn(t)= signe de la somme (t)

2. En déduire que si t= 0 alors et que si

[elp]

n'oublie pas que cos(x)+isin(x)=e^ix

ensuite pense à une suite géométrique

[audrey19]

Merci, elp, mais je ne vois pas pourquoi Cn(0)=n

si Cn(t)=e^it-iSn(t)

=e^it-isin(nt)

Cn(0)=e^i0-isin(0)

Cn(0)=1-0

Cn(0)=1 J'ai du me tromper qulque part car mon résultat n'est pas n

Qulqu'un pourrait-il me mettre au moins sur la bonne piste s'il vous plait?

Merci

[elp]

Cn(t)=e^it-iSn(t)

je ne suis pas d'accord

Cn(t)+iSn(t)=somme(1...n) de e^ikt

si t= 0 cos(kt)=cos(0)=1 pour tout k dc Cn(0)=1+1+1....+1=n (il y a n termes égaux à 1)

si t n'est pas nul Cn(t)+iSn(t) est la somme des termes d'un suite géom de 1er terme e^it et de raison e^it

cette somme est e^it(1-e^int)/(1-e^it)

on s'occupe d'abord de (1-e^int)/(1-e^it)

en remarquant que e^it=e^(it/2+it/2) et que 1=e^(it/2-it/2) on arrive à

[(-e^int/2)(-e^-int/2 + e^int/2)/[(-e^it/2)(-eit/2+e^it/2)]

on utilise la relation sinx=(e^ix-e^-ix)/2i

on obtient

[-e^int/2*2i*sin(nt/2)]/[-e^it/2*2i*sin(t/2)]=e^i(n-1)t/2*sin(nt/2)/sin(t/2)

e^it(1-e^int)/(1-e^it) vaut donc e^it*e^i(n-1)t/2*sin(nt/2)/sin(t/2)=e^it(n+1)/2*sin(nt/2)/sin(t/2)

Cn(t) est la partie réelle de ce qui précéde dc c'est

cos(t(n+1)/2)*sin(nt/2)/sin(t/2)

en espérant ne pas avoir fait d'erreurs de frappe