Exponentielle Et Démonstration De Fonction

[audrey19]

Bonjours tout le monde!!

Dés la première question je bute et ne parlons pas des suivantes!!! J'aimerai avoir un peu d'aide pour commencer s'il vous plait

Partie B

Dans cette seconde partie, on se propose de déterminer l'ensemble E de toutes las fonctions f , dérivables sur R et vérifiant pour tous réels x et y :

f(x+y)+x+y=[f(x)+x]|[f(y)+y] (I)

1)a-En posant x=y=X/2, démontrer que:

Pr tt f dans E et pr tt réel X, f(X)+X>ou égal à 0

__________________________________________

X/2=x+y donc f(X)+X= ??? car si on remplace par X/2 toutes les expressions cela ne donne rien

b-Démontrer que si f appartient à E, alors nécessairement, f(0)=0 ou f(0)=1.

2)Déterminer la fonction f lorsque f(0)=0

3)a- Démontrer que s'il existe réel x0 tel que f(x0)+x0=0 alors:

Pr tt reel x, f(x)+x=0

(on pourra par exemple remarquer que x=(x-x0)+x0 et utiliser la relation (I))

b-En déduire que si f(0)=1 alors pr tt reel x: f(x)+x>0.

c-On suppose que f(0)=1 et on posef(1)+1=a

Démontrer par récurrence que: pr tt n dans N, f(n)+n=a^n (a^0=1)

En déduire qe pr tt n dans Z: f(n)=a^n-n

4)On pose pr tt f dans E, f'(0)+1=k.

Soit c un réel donne quelconque. En dérivant par rapport à x les deux membres de la relation:

f(x+c)+x+c=[f(x)+x][f©+c], démontrer que pr tt reel c, f'©+1=k[f©+c]

5)La question 4) prouve donc que toute fct f de E vérifie la relation (II): pr tt reel x, f'(x)+1=k[f(x)+x]

Avec k=f'(0)+1.

On pose pr tt f de E et pr tt reel x:

g(x)=f(x)+x.

a-Exprimer g'(x) en fonction de k et g(x).

b-Trouver ttes ls fnctions g vérifiant cette dernière relation et en déduire les fonctions f solutions de (I).

[elp]

je te fais le 1)

si x=y=X/2 alors

f(x+y)+x+y=f(X/2+X/2)+X/2+X/2=f(X)+X

[f(x)+x][f(y)+y]=[f(X/2)+X/2][f(X/2)+X/2]=[f(X/2)+X/2]²

on a dc f(X)+X=[f(X/2)+X/2]² et comme un carré est tjs >+0 .......

si x=0 et y=0

f(x+y)+x+y=f(0+0)+0+0=f(0)

[f(x)+x][f(y)+y]=[f(0)+0][f(0)+0]=f(0)²

on dc f(0)²=f(0)

f(0)²-f(0)=0

f(0)[f(0)-1]=0

2 solutions qui sont :f(0)=0 et f(0)=1

[elp]

la suite..

2)

on a f(0)=0

pour tout x de R

f(x+0)+x+0=[f(x)+x][f(0)+0]

f(x)+x=[f(x)+x][0+0]=0

f(x)+x=0 dc f(x)=-x

3)a)

(x-x0) 'joue le role' de x et x0 celui de y

f((x-x0)+x0)+(x-x0)+x0)=[f(x-x0)+(x-x0)][f(x0)+x0)]

[f(x0)+x0)] est 0 par hyp dc f((x-x0)+x0)+(x-x0)+x0)=0 c-à-d f(x)+x=0

b) on sait d'après le1) que (f(x)+x>=0pour tt x ds R

si on a un x tel que f(x)+x=0 alors tous les f(x)+x seront nuls et f(0)+0 en particulier dc f(0)=0 or on te dit que f(0)=1 dc il y a une contradiction

et dc il n'ya pas de x ds R tel que f(x)+x=0 dc f(x)+x est strictement >0

c)f(1)+1=a dc f(1)=a-1

tu dois faire un raisonnement par récurrence

supposons qu'il existe n tel que f(n)=a^n-n (dc f(n)+n=a^n)

f(n+1) +n+1=[f(n)+n][f(1)+1]=a^n[a]=a^(n+1) et f(n+1)=a^(n+1)-(n+1)

je te laisse finir et rédiger

4)

f'(0)+1=k

f(x+c)+x+c=[f(x)+x][f©+c]

f(x+c)+x+c a pour dérivée par rapport à x: f'(x+c)+1

[f(x)+x][f©+c] a pour dérivée par rapport à x: [f©+c][f'(x)+1]

on a dc

f'(x+c)+1=[f©+c][f'(x)+1]

si x=0

f'©+1=[f©+c][f'(0)+1]=[f©+c][k]

5)

f'(x)+1=k*[f(x)+x]

g(x)=f(x)+x dc g'(x)=f'(x)+1=k*[f(x)+x]=k*g(x)

g'(x)=k*g(x) maintenant c'est facile de finir

[audrey19]

Merci merci beaucoup elp c vraiment trés gentil a toi d'avoir pris le temps de me répondre! Merci encore sa va bien m'aidé

[audrey19]

re!! je ne comprend pas ce que vous avez fait à la question 3. b. car à la question 1. b. nous avons trouvé qu'il y avait 2solution qui étaient f(0)=0 et f(0)=1

donc si f(0)=1, f(x+0)+x+1=[f(x)+x][f(0)+1]

f(x)+x+1=2[f(x)+x]

Je ne sais pas du tout si ce que j'ai sa convient je n'arrive pas a continué

Pourriez-vous m'expliquer quel est votre raisonnement?

Merci d'avance.

Audrey

[elp]

f(x+0)+x+1=[f(x)+x][f(0)+1]

ce que tu as écrit au dessus est faux

il faut écrire (car y=0 ds ce cas)

f(x+0)+x+0=[f(x)+x][f(0)+0]

f(x)+x=[f(x)+x][1+0]

f(x)+x=f(x)+x ce qui n'est pas faux !!

je ne vois pas où tu veux aller avec ça.

bon courage pour la suite