Les Suites

[kavi]

Bonjour, pouver vous m'aider svp à faire mon Dm, Merci.

On considère les nombres complexes Zn définis, pour tout entier naturel n, par: Z0=1 et Z_n+1=(3/4+i 3/4)Zn et on note An le point d'affixe Zn.

1. a) Caluler sous forme algébrique les nombres Z₁ à Z_6. B) Dans un repère 8cm, placer les points Ao jusqu'à A6.

2. Pour tout entier naturelle n, on pose dn= valeur absolue de Z_n+1-Z_n. b)En déduire une relation entre dn et d_n-1, pour n supérieur ou égale à 1, puis dn en fonction de n et do. c) Donner la représentation géométrique de chacun des nombres dn.

Z1 = r*Zo et Z2=r*Z1 ??

[kavi]

Bonjour, pouver vous m'aider svp à faire mon Dm, Merci.

On considère les nombres complexes Zn définis, pour tout entier naturel n, par: Z0=1 et Z_n+1=(3/4+i 3/4)Zn et on note An le point d'affixe Zn.

1. a) Caluler sous forme algébrique les nombres Z₁ à Z_6. B) Dans un repère 8cm, placer les points Ao jusqu'à A6.

2. Pour tout entier naturelle n, on pose dn= valeur absolue de Z_n+1-Z_n. b)En déduire une relation entre dn et d_n-1, pour n supérieur ou égale à 1, puis dn en fonction de n et do. c) Donner la représentation géométrique de chacun des nombres dn.

Z1 = r*Zo et Z2=r*Z1 ??

[lisa22]

De l'aide svp au moins pour commencer .

[kavi]

Pas de problème pour z1...?

Tu mets sour forme trigonométrique (3/4)+i( 3)/4

Tu en déduis ensuite les formes trigo de z2, z3...puis les formes algèbriques

[lisa22]

A enfin, Merci. Alors si je crois qu'il ya un problème pour z1, pour mettre cela sous forme trigonométrique j'ai mis 1/2 en facteur soit 1/2(3/2+i 3/2) = 1/2(3/2+i /3) mais sa ma pas l'air correct

[kavi]

Pour mettre un nombre complexe sous forme trigonométrique tu as du voir en cours une méthode qu'il faut appliquer

z = a + ib

Le carré du module de z est |z|² = a² + b² = (3/4)² +( 3/4)² = 9/16 + 3/16 = 12/16

d'où |z| = (12/16) =(2 3)/4 = ( 3)/2

Soit l'argument: cos =a/|z | =(3/4)*(2/ 3) =( 3)/2 et sin =1/2

D'où la forme trigo..

[lisa22]

Merci, y'a t'il autre façon de faire? parceque nous on a pas vu que /z/ (désolé je n'est pas trouvé les valeurs absolue) = a²+b²

[kavi]

Tu as vu la forme trigonométrique d'un nombre complexe donc tu as vu module et argument

Non? si oui quelle est pour toi la définition du module de z pour z = a + ib ?

[lisa22]

bein module de z = (a²+b²)

[kavi]

Et tu notes bien module de z : | z | ?

d'où | z |² = a² + b²

Donc tu es d'accord pour | (3/4) + i( 3)/4 | = ((9/16)+(3/16)) = (12/16) = (3/4) =( 3 )/2

Ensuite tu mets le module de facteur:

(3/4) +i( 3)/4 =(( 3)/2)[ ( 3)/2 +i /2 ]

( 3)/2 = cos( /6 ) et (1/2 ) = sin ( /6 ) d'où la forme trigo

r =(3/4 ) +i ( 3)/4 = (( 3)/2 )*e^(i /6)

On a z_n+1 = rz_n avec z₀ = 1

d'où z₁ = r

z₂ = r² = [( 3)/2]²e^(i2 /6)= (3/4 )e^(i /3) = (3/4 ) ( (1/2)+i( 3)/2 ) = (3/8)+(3i 3)/8

[kavi]

a

[lisa22]

Pourquoi z1=r ??

[elp]

on pose pour simplifier r=3/4+i*rac(3)/4

d'après l'énoncé z0=1 et z(n+1)=z(n)*(3/4+i*rac(3)/4) =z(n)*r

z1=r*z0=r*1=r

z2=r*z1=r*r=r²

z3=r*z2=r*r²=r^3

etc...

il faut calculer les puissances successives de r

pour faciliter les calculs il faut écrire r sous forme module*e^i*argument

Lisa22 a fait cela pour toi r=(rac(3)/2)*e^i*pi/6

r²=(rac(3)/2)²*e^i*(pi/6+pi/6) (qd on fait le produit les modules se multiplient et les arguments s'ajoutent)

r²=(3/4)*e^i*2pi/6

pour avoir r^3: on multiplie le module de r² par rac(3)/2 et on ajoute pi/6 à l'argument de r²

et ainsi de suite

[kavi]

on pose pour simplifier r=3/4+i*rac(3)/4

d'après l'énoncé z0=1 et z(n+1)=z(n)*(3/4+i*rac(3)/4) =z(n)*r

z1=r*z0=r*1=r

z2=r*z1=r*r=r²

z3=r*z2=r*r²=r^3

etc...

il faut calculer les puissances successives de r

pour faciliter les calculs il faut écrire r sous forme module*e^i*argument

Lisa22 a fait cela pour toi r=(rac(3)/2)*e^i*pi/6

r²=(rac(3)/2)²*e^i*(pi/6+pi/6) (qd on fait le produit les modules se multiplient et les arguments s'ajoutent)

r²=(3/4)*e^i*2pi/6

pour avoir r^3: on multiplie le module de r² par rac(3)/2 et on ajoute pi/6 à l'argument de r²

et ainsi de suite

[kavi]

Ok merci lisa et elp, donc r^3= 3/4+i 3/4 * 3/4 * e^^{i3 /4}

[lisa22]

Ok merci lisa et elp, donc r^3= 3/4+i 3/4 * 3/4 * e^^{i3 /4}

[elp]

r²=(3/4)*e^i*2pi/6

le module de r^3 est (3/4)*rac(3)/2

son argument est 2pi/6+pi/6

pour passer d'un terme au suivant: module * rac(3)/2 et arg + pi/6

module * e^i*argument=module*(cos(argument)+i*sin(argument))=module*cos(arg)+i*module*sin

(arg)

module*cos(arg)+i*module*sin(arg) ça c'est la forem algébrique

module*cos(arg) est l'abscisse du point ds le repère et module*sin(arg) est son ordonnée

[kavi]

r²=(3/4)*e^i*2pi/6

le module de r^3 est (3/4)*rac(3)/2

son argument est 2pi/6+pi/6

pour passer d'un terme au suivant: module * rac(3)/2 et arg + pi/6

module * e^i*argument=module*(cos(argument)+i*sin(argument))=module*cos(arg)+i*module*sin

(arg)

module*cos(arg)+i*module*sin(arg) ça c'est la forem algébrique

module*cos(arg) est l'abscisse du point ds le repère et module*sin(arg) est son ordonnée

[kavi]

ok, merci beaucoup,je vais essayer de faire l'application numérique.

[lisa22]

Donc: 1)Calcuer sous forme algébrique les nbrs z1 à z6.

Z1 = 3/4 + i 3/4

Z2 = 12/16 + i(6 3)/16

est ce que pour l'instant c'est bon?

[kavi]

[kavi]

comment fait-on le 2) svp?

[lisa22]

Z1 = r = 3/2*e^i /6 = 3/2( 3/2 + i1/2) = 3/4 + i 3/4

Z2 = r²=( 3/2)²*e^i /3 = 3/8 + i3 3/8

Z3 = r^3 = 3 3/8*e^i /2 = 3i 3/8.

Z4 = r^4 = 9/16(-1/2+i 3/2) = -9/32 + i 9 3/32.

Z5 = r^5 = 9 3/32*e^i5 /6 = -27/64 + i 9 3/64.

Z6 = r^6 = -27/64.

[kavi]

C'est bon

[lisa22]

comment fait-on le 2) svp?