Dm De Math Premiere S

[romano77]

Bonjour et merci d'avance

1) Un triangle a trois cotés de longueur a,b et c telles que a^2 +b^2 + c^2 = ab + bc +ca . Démontrer que le triangle est équilatéral.

2) soit a, b et c trois entiers impairs. Montrer que l'équation ax^2 + bx +c = 0 n'a pas de solution rationnelle. Un triangle a trois cotés de longueur a,b et c telles que a^2 +b^2 + c^2 = ab + bc +ca . Démontrer

3) Trouver 3 entier non naturels nuls a, b et c tel que : abc +ab + bc +ca +a +b +c = 1000

4) Un petit carré est construit à l'intérieur d'un grand carré d'aire 1, en divisant chaque coté du carré en n parts égales et en joignant les points les plus proche du sommet au sommet opposé, comme indiqué sur la figure. L'aire du petit carré vaut 1/1985. Combien vaut l'entier n ?

merci de vos réponses

[lisa22]

Bonjour et merci d'avance

1) Un triangle a trois cotés de longueur a,b et c telles que a^2 +b^2 + c^2 = ab + bc +ca . Démontrer que le triangle est équilatéral.

2) soit a, b et c trois entiers impairs. Montrer que l'équation ax^2 + bx +c = 0 n'a pas de solution rationnelle. Un triangle a trois cotés de longueur a,b et c telles que a^2 +b^2 + c^2 = ab + bc +ca . Démontrer

3) Trouver 3 entier non naturels nuls a, b et c tel que : abc +ab + bc +ca +a +b +c = 1000

4) Un petit carré est construit à l'intérieur d'un grand carré d'aire 1, en divisant chaque coté du carré en n parts égales et en joignant les points les plus proche du sommet au sommet opposé, comme indiqué sur la figure. L'aire du petit carré vaut 1/1985. Combien vaut l'entier n ?

merci de vos réponses

[lisa22]

Bonjour et merci d'avance

3) Trouver 3 entier non naturels nuls a, b et c tel que : abc +ab + bc +ca +a +b +c = 1000

4) Un petit carré est construit à l'intérieur d'un grand carré d'aire 1, en divisant chaque coté du carré en n parts égales et en joignant les points les plus proche du sommet au sommet opposé, comme indiqué sur la figure. L'aire du petit carré vaut 1/1985. Combien vaut l'entier n ?

merci de vos réponses

[lisa22]

Bonjour et merci d'avance

4) Un petit carré est construit à l'intérieur d'un grand carré d'aire 1, en divisant chaque coté du carré en n parts égales et en joignant les points les plus proche du sommet au sommet opposé, comme indiqué sur la figure. L'aire du petit carré vaut 1/1985. Combien vaut l'entier n ?

merci de vos réponses

[elp]

pour le 2)

supposons que l'équation a une solution rationnelle, on simplifie son écriture et on peut l'écrire sous la forme p/q ; p et q sont entiers et ne peuvent être pairs tous les deux.

on a dc l'égalité suivante

a(p/q)²+b(p/q)+c=0

en réduisant au même dénominateur q², on a

ap²+bpq+cq²=0

cas 1: p et q impairs

p² est impair, ap² aussi car a est impair

bpq est impair car b, p, q le sont

q² est impair et cq² aussi car c est impair

la somme de 3 nombres impairs est impaire et ne peut faire 0

cas 2: p pair et q impair

p² pair et ap² pair

bpq est pair

cq² est impair

la somme de 2 pairs et d'un impair est impaire et ne peut faire 0

cas 3: p impair et q pair: voir cas 2

je n'ai pas trouvé mieux

[lisa22]

Bonjour et merci d'avance

2) soit a, b et c trois entiers impairs. Montrer que l'équation ax^2 + bx +c = 0 n'a pas de solution rationnelle.

[lisa22]

pour le 2)

supposons que l'équation a une solution rationnelle, on simplifie son écriture et on peut l'écrire sous la forme p/q ; p et q sont entiers et ne peuvent être pairs tous les deux.

on a dc l'égalité suivante

a(p/q)²+b(p/q)+c=0

en réduisant au même dénominateur q², on a

ap²+bpq+cq²=0

cas 1: p et q impairs

p² est impair, ap² aussi car a est impair

bpq est impair car b, p, q le sont

q² est impair et cq² aussi car c est impair

la somme de 3 nombres impairs est impaire et ne peut faire 0

cas 2: p pair et q impair

p² pair et ap² pair

bpq est pair

cq² est impair

la somme de 2 pairs et d'un impair est impaire et ne peut faire 0

cas 3: p impair et q pair: voir cas 2

je n'ai pas trouvé mieux

[elp]

Une solution qui "tombe du ciel " pour l'exercice sur le triangle équilatéral

calculons (a-b)²+(a-c)²+(b-c)²

on trouve

a²-2ab+b²+a²-2ac+c²+b²-2bc+c²=

2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=

2(a²+b²+c²)-2(ab+ac+bc)=0 puisque a²+b²+c²=ab+ac+bc d'après l'énoncé

la somme de 3 carrés ne peut être nulle que si chacun des termes est nul

dc a-b=0, a-c=0 et b-c=0

les élèves diront "qu'il fallait y penser !"

Bonne nuit à tous

[romano77]

merci beaucoup pour toute vos réponses, sa fait vraiment plaisir de voir qu'on peut conter sur vous. Sérieusement vous m'avez beaucoup aidé.

[Danone]

Quelqu'un a trouvé pour l'exercice 3?

[elp]

suis le conseil de Lisa22 (voir au dessus), développe (a+1)(b+1)(c+1).

tu vas trouver une expression proche de abc+ab+bc+ac+a+b+c

sachant que abc+ab+ac+bc+a+b+c vaut 1000, tu vas déduire la valeur de (a+1)(b+1)(c+1) puis celles de (a+1), (b+1) et (c+1) et enfin celles de a,b et c

[romano77]

suis le conseil de Lisa22 (voir au dessus), développe (a+1)(b+1)(c+1).

tu vas trouver une expression proche de abc+ab+bc+ac+a+b+c

sachant que abc+ab+ac+bc+a+b+c vaut 1000, tu vas déduire la valeur de (a+1)(b+1)(c+1) puis celles de (a+1), (b+1) et (c+1) et enfin celles de a,b et c

[lisa22]

,

je suis coincé j'ai devellopé et je trouve ab+ac+bc+2a+2b+2c+2 se qui est quand meme assez éloigé de l"expression de départ. Que faire?

[romano77]

merci beaucoup . j'ai donc décomposé en premier facteur 1001 et j'ai trouver 7*11*13 donc au final a=6 b=10 c=12. Je pense que c'est bon alors merci beaucoup .

Je remercie donc Lisa et elp pour leur aide précieuse.

[firefox]

Pour le 2, il suffit de remplacer a, b, c par trois nombre impaire comme 2n+1.

Ensuite il suffit de calculer delta et ....

[Libellule]

Alors justement pour le 2 j'ai calculé delta en prenant a = 2k+1 ; b = 2k'+1 ; c = 2k'' +1 et j'arrive à

delta = 4 ( k' ^2 + k' - 4kk'' - 2k - 2k'' ) -3

pour simplifier j'ai posé K = k' ^2 + k' - 4kk'' - 2k - 2k''

ce qui nous donne : delta = 4K - 3

Ensuite il faudrait arriver à démontrer que delta est négatif => l'équation n'admet pas de solution rationnelle

mais comment démontrer que ce delta est négatif ?

[lisa22]

Alors justement pour le 2 j'ai calculé delta en prenant a = 2k+1 ; b = 2k'+1 ; c = 2k'' +1 et j'arrive à

delta = 4 ( k' ^2 + k' - 4kk'' - 2k - 2k'' ) -3

pour simplifier j'ai posé K = k' ^2 + k' - 4kk'' - 2k - 2k''

ce qui nous donne : delta = 4K - 3

Ensuite il faudrait arriver à démontrer que delta est négatif => l'équation n'admet pas de solution rationnelle

mais comment démontrer que ce delta est négatif ?

[Libellule]

en effet c'est logique : delta peut être positif

bon tant pis pour cette méthode

Merci de la rapidité de la réponse ! ^^

[firefox]

moi j'ai posser a=2n+1 b=2n+3 et c=2n+5

et en calculant delta, je tombe sur delta= -10n²+10 je crois ou quelque chose comme ca et apres il suffit de dire que pour tt n + ou - n²>=o

-10n²<=o

-10n²+10<10

-10n²+10<0

donc delta est bien negatif donc l'equation n'a pas de solution rationnelle

[firefox]

et au passage salut camille !!!!

[lisa22]

moi j'ai posser a=2n+1 b=2n+3 et c=2n+5

et en calculant delta, je tombe sur delta= -10n²+10 je crois ou quelque chose comme ca et apres il suffit de dire que pour tt n + ou - n² o

-10n² o

-10n²+10<10

-10n²+10<0

donc delta est bien negatif donc l'equation n'a pas de solution rationnelle

[firefox]

pour info j'avais dit un peu pres -10n²+10 car je n'avais plus ma feuille sous les yeux

[firefox]

et puis il n'y a pas non plus ecrit trois reel quelconque mais trois reel impaires.

[lisa22]

et puis il n'y a pas non plus ecrit trois reel quelconque mais trois reel impaires.

[Loulou77]

Bonjour,

tout d'abord bravo pour les solutions que vous avez proposé.

J'ai moi meme le meme DM à rendre.

Je vien de finir de rediger le numero 2 et je me demandais si j'avais pas faitune erreur:

lorsque l'on reduis a(p/q)²+b(p/q)+c au meme denominateur q², on passe bien par ces etapes:

ap²/q²+bp/q+c=0

ensuite on multiplie les deux terme par q²:

ap²q²/q²+bpq²/q+cq²=0*q²

donc

ap²+bpq+cq²=0

Voila je ne pense pas qu'il y ait une erreur mais je prefererai etre sur!

merci