arnaudrou Posté(e) le 21 octobre 2007 Signaler Posté(e) le 21 octobre 2007 Bonjour, Qui peut m'aider à faire mon DM qui me cause des soucis: a et b sont deux réels tels que 0<a<b. Les suites (un) et (vn) sont définies par u0=a, v0=b et pour tout n de , un+1= (unvn)/(un+vn)) et vn+1=1/2(un+vn). (On admet que ces deux suites sont définies et strictement positives.) 1.On suppose, uniquement pour cette question que a=4 et b=9. a) Calculer u1, v1,u2 et v2 --->u1 = 72/13 ; v1 = 13/2 ; u2=1872/313 ; v2= 313/52 b)Donner à l'aide du tableau de valeurs de la calculatrice les cinq premiers termes de chaque suite à 10-8 près; que peut-on conjecturer sur le sens de variation et sur la limite de chacune de ces deux suites? Cette approche nous numérique nous laisse penser que (un) est croissante et a pour limite 6 et (vn) est décroissante et a pour limite 6. 2.Prouver que, pour tout entier naturel n, unvn. ---> Je sais que je dois démontré que Vn-Un > 0, mais n'ayant ni vn et un je ne sais pas faire 3.Montrer que la suite (un) est croissante et que la suite (vn) est décroissante. --> La même problème je dois démontrer un+1-un>0 et inversement pour vn Après je sais pas: 4)a)En déduire que, pour tout entier naturel n, vn+1-un+1 vn+1-un et vn+1-un+1 1/2(vn-un). b)Montrer par récurrence que,pour tout entier naturel n, vn-un 1/2(v0-u0). c)Quelle est la limité de (vn-un)? 5)a) Déduire des questions précédentes que les suites (un) et (vn) sont convergentes. --->puisque un est croissante et majorée (par 6?)alors la suite converge. inversement pour vn (minorée par 6?). b)Calculer le produit un+1vn+1. Que peut-on en déduire pour la suite (unvn)? c)Montrer que (un) et (vn) ont pour limite (ab). Merci d'avance pour votre aide!
E-Bahut elp Posté(e) le 21 octobre 2007 E-Bahut Signaler Posté(e) le 21 octobre 2007 un+1= (unvn)/(un+vn) est-ce vraiment ça ton énoncé ? ce que tu as calculé c'est 2UnVn/(Un+Vn)
arnaudrou Posté(e) le 21 octobre 2007 Auteur Signaler Posté(e) le 21 octobre 2007 ha oui mince j'ai fais une petite erreur en recopiant, l'énoncé indique bien: un+1= (2unvn)/(un+vn) Encore désolé. Merci d'avance
E-Bahut elp Posté(e) le 21 octobre 2007 E-Bahut Signaler Posté(e) le 21 octobre 2007 V(n+1)-U(n+1)=0.5(Un+Vn)-2UnVn/(Un+Vn) on réduit au même déno 2*(Un+Vn) on obtient [(Un+Vn)²-4UnVn]/2*(Un+Vn)=[(Un-Vn)²]2*(Un+Vn) Un+Vn est positif d'après l'énoncé et le carré (Un-Vn)² est >=0 dc V(n+1)>=U(n+1) pour tout n pour tout n U(n+1)-Un=2UnVn/(Un+Vn)-Un on réduit au même déno Un+Vn (qui est positif) le num est 2UnVn-Un(Un+Vn)=2UnVn-Un²-UnVn= UnVn-Un²=Un(Vn-Un) Un est positif par énoncé et Vn-Un aussi d'après ce que tu as démontré avant donc U(n+1)>=Un pour tout n V(n+1)-Vn=0.5(Un+Vn)-Vn=0.5Un+0.5Vn-Vn=0.5Un-0.5Vn=0.5(Un-Vn) et comme Un<=Vn (démontré avant) Un-Vn est négatif et on peut conclure pour Vn
E-Bahut elp Posté(e) le 21 octobre 2007 E-Bahut Signaler Posté(e) le 21 octobre 2007 des indications pour le reste 4) U(n+1)>=Un -U(n+1)-Un on ajoute V(n+1) à chaque mbre V(n+1)-U(n+1)<=V(n+1)-Un on remplace V(n+1) par 0.5(Un+Vn) ds le 2è mbre V(n+1)-U(n+1)<=0.5(Vn-Un) V0-U0=b-a calcule V1-U1 et vérifie que V1-U1<=0.5(V0-U0) ensuite soit Vn-Un<=(1/2)^n(V0-U0) on a montré avant que V(n+1)-U(n+1)<=1/2(Vn-Un) donc V(n+1)-U(n+1)<=1/2*(1/2)^n*(V0-U0) je te laisse finir pour l'hérédité (1/2)^n tend vers 0 qd n tend vers -00 dc Vn-Un td vers o qd n td vers +00 5) Vn décroissante et V0=b dc pour tout n: Vn<=b or pour tt n Un <=Vn dc Un<=b conclusion Un converge car elle est croissante et majorée par b tu fais pareil pour mq que Vn est minorée par a et montrer qu'elle converge pour tt n U(n+1)V(n+1)= [2UnVn/(Un+Vn)]*0.5(Un+Vn)=UnVn UnVn est constante, tous ses termes valent U0V0=ab Un et Vn sont 2 suites adjacentes car Un est croissante, Vn décroissante et lim(Un-Vn)=0 elles admettent la même limite l et on a l*l=ab (d'après ce qui a été démontré avant) l²=ab donne l=Vab (tous les termes des suites étant positifs)
arnaudrou Posté(e) le 21 octobre 2007 Auteur Signaler Posté(e) le 21 octobre 2007 Bonsoir, merci beaucoup pour ton aide ça m'a bien avancé, malheureusement il y a encore certains points que je ne comprends pas. Pour la 4)B) je ne comprends pas comment faire l'hérédité je sais qu'il faut que j'arrive a:vn+1-un+1 <ou= 1/(2n+1) (v0-u0) pour la 4)c) Pourquoi juste faire la limite de (1/2)^n permet de savoir la limite (vn-un) pour la 5)B) Peux tu détailler un peu plus ton calcul car je ne comprends pas pourquoi un+1vn+1 = unvn Je ne comprends pas ensuite la fin 5)B) et 5c) surtout quand tu dis: " UnVn est constante, tous ses termes valent U0V0=ab " et " et on a l*l=ab (d'après ce qui a été démontré avant) l²=ab donne l=Vab (tous les termes des suites étant positifs) " Merci d'avance
E-Bahut elp Posté(e) le 22 octobre 2007 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 octobre 2007 Bonsoir, merci beaucoup pour ton aide ça m'a bien avancé, malheureusement il y a encore certains points que je ne comprends pas. Pour la 4)B) je ne comprends pas comment faire l'hérédité je sais qu'il faut que j'arrive a:vn+1-un+1 <ou= 1/(2n+1) (v0-u0) ================================================================= on suppose que Vn-Un<=(1/2)^n*(V0-U0) on multiplie les 2 mbres par 1/2 (1/2)(Vn-Un)(1/2)^(n+1)*(V0-U0) or Vn+1-Un+1<=(1/2)(Vn-Un) (démontré avant) dc on a bien Vn+1-Un+1<=(1/2)^(n+1)*(V0-U0) et l'hérédité est établie ====================================================== pour la 4)c) Pourquoi juste faire la limite de (1/2)^n permet de savoir la limite (vn-un) =============================================================== on a démontré que Vn-Un<=(1/2)^n(V0-U0) et on sait que Vn-Un >=0 qd n-->+oo (1/2)^n td vers 0 donc (1/2)^n*(V0-U0) td vers 0 aussi dc Vn-Un td vers 0 ================================================================ pour la 5)B) Peux tu détailler un peu plus ton calcul car je ne comprends pas pourquoi un+1vn+1 = unvn =================================================================== U(n+1)V(n+1)= [2UnVn/(Un+Vn)]*0.5(Un+Vn)=UnVn 2*0.5=1 et 1/(Un+Vn)*(Un+Vn)=1 dc il reste UnVn Un+1*Vn+1=Un*Vn=Un-1*Vn-1=Vn-2*Un-2= ............U0*V0 dc = ab ============================================================== Je ne comprends pas ensuite la fin 5)B) et 5c) surtout quand tu dis: " UnVn est constante, tous ses termes valent U0V0=ab " et " et on a l*l=ab (d'après ce qui a été démontré avant) ============================================================ Vn td vers l et Un td vers l dc leur produit td vers l² or ce produit est toujours le même, c'est ab dc l²=ab ============================================================== l²=ab donne l=Vab (tous les termes des suites étant positifs) " ======================================================= ab est positif dc Vab existe l²=ab a 2 solutions +Vab et -Vab, on ne retient que la solution positive car Un et Vn st positifs; l=Vab ======================================================== Merci d'avance
arnaudrou Posté(e) le 22 octobre 2007 Auteur Signaler Posté(e) le 22 octobre 2007 Merci beaucoup, c'est bon j'ai bien tout compris et pu rédiger à ma façon, encore merci. Juste une question, au niveau de la question 1).b qui consiste a calculer a 10-8 les cinq premiers termes avec la calculette, arrive tu à calculer u4 et v4 car ma calculette arrondis à 6 ??
E-Bahut elp Posté(e) le 22 octobre 2007 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 octobre 2007 U0=4 et Vo=9 dc la limite est v(4*9)=v(36)=6 dc ça n'est pas étonnant que v4 et u4 se rapprochent de 6 ! je trouve avec l'imprécision de ma calculatrice (casio collège !!): u4 : 5.999993393 et v4:6.000006607
E-Bahut elp Posté(e) le 23 octobre 2007 E-Bahut Signaler Posté(e) le 23 octobre 2007 C'est un peu tard mais je t'envoie un tableau réalisé avec excel.
arnaudrou Posté(e) le 23 octobre 2007 Auteur Signaler Posté(e) le 23 octobre 2007 Encore Merci, on peut voir que même excel ne passe pas v4
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