Un Ensemble De Points

[mattlebatteur]

On considère l'ensemble E des points M de l'espace dont les coordonnées (x ;y ;z) sont telles que :

x-2y+3z-5 = 0

1. Vérifier que les points A(7 ;1 ;0) B(5 ;0 ;0) et C(2 ;0 ;1) appartiennent à l'ensemble E.

2. Montrer que A,B et C ne sont pas alignés. En déduire qu'ils définissent un plan P.

3. A. Démontrer que le vecteur BM(2y-3z ;y ;z)

B. En déduire que le vecteur BM est égal aux vecteurs y BA + z BC

C. Que peut-on en conclure ?

4) Réciproquement, démontrer que si un point M(x ;y ;z) de l'espace appartient au plan P alors ses cordonnées vérifient l'équation x-2y+3z-5 = 0 (Indication : utiliser les vecteurs coplanaires pour se servir de M,A,B,C coplanaires)

5) Quel est donc l'ensemble E ?

Mes réponses :1) Les points A B C vérifient l'équation donc ils appartiennent à E.

2) Vecteur AB = k BC mais –1 = k0. C'est impossible donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et donc les points ne sont pas alignés. Ils définissent un plan P

3a) M(x ;y ;z) et M appartient à E et x-2y+3z-5=0

M( 2y-3 ;y ;z)

Donc le vecteur BM(2y-3z ;y ;z)

3b) AB(-2 ;-1 ;0) dc BA (2 ;1 ;0)

BM= kBA + k'BC avec k = y et k' = z

BM = yBA + zBC

3c) On en déduit que les vecteurs BM BA et BC sont coplanaires dc B A C et M appartiennent au plan P

4) Je ne comprends cette question et l'indication qui va avec. J'ai besoin d'aide

5) Est ce que un ensemble de points peut être un Plan ? si oui je pense que c'est la réponse mais je ne sais pas le prouver si non je donne ma langue au chat.

Merci de votre aide

[elp]

M ds le plan (ABC)=> MA coplanaire à AB et AC (en vecteurs)

MA(7-x,1-y,-z)

AB(-2,-1,0)

AC(-5;-1;1)

MA est combinaison linéaire de AB et AC (MA=aAB+bAC)

7-x=-2a-5b

1-y=-a-b

-z=0+b

tu remplaces b par -z ds 1-y=-a-b ce qui donne 1-y=-a+z puis a=z-1+y

ensuite tu remplaces a et b par leurs valeurs ds 7-x=-2a-5b

tu vas trouver une relation entre x, y,z qui est l'équation du plan (tu vas trouver x-2y+3z-5=0)

[mattlebatteur]

Cela veut dire que l'ensemble des points est le plan (ABC) car M est dans ce plan et les points A,B,C et M vérifient l'équation de l'ensemble E.

Merci de ton aide !!