[dm] Fonctions Et Dérivée De La Dérivée...

[arnaudrou]

Bonjour,

Je recherche de l'aide pour cette exercice de mon Dm (enfin surtout la 2eme question), voici l'énoncé:

Soit f la fonction définie sur * par f(x) = 1/x. On note, pour tout n de *, n!=1*2*3*...*(n-1)*n.

1) Calculer, pour tout réel x non nul, f'(x), f''(x),f'''(x)

---> je trouve f'(x) = -1/x²

f''(x) = 2/x³

f'''(x) = -6/x⁴

2)Pour n entier naturel non nul, on pose f⁽ⁿ⁺¹⁾=(f⁽ⁿ⁾)' avec f' = f⁽¹⁾. (Remarque f = f⁽⁰⁾)

En déduire, pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel x non nul, f⁽ⁿ⁾(x) en fonction x et de n.

--> c'est ici que ca bloque, j'en ai donc déduis l'expression suivante:

f⁽ⁿ⁾(x)=(-1)^n.n!/x⁽ⁿ⁺¹⁾

^{Je dois donc faire un raisonnement par récurrence pour rpouver que c vrai pour tout n:}

p(n):"f⁽ⁿ⁾(x)=(-1)^n.n!/x⁽ⁿ⁺¹⁾"

amorce:

f⁽¹⁾(x) = -1/x² (donc on retrouve bien ce que l'on a trouvé)

et ensuite comment faire l'hérédité...

Merci d'avance

[elp]

soit fn(x)=(-1)^n*n!/x^n+1

je calcule d'abord la dérivée de 1/x^n+1: c'est (-(n+1)*x^n)/x^2*(n+1))=-1*(n+1)/x^n+2

on a donc f'n(x)=(-1)^n*n!*(-1)*(n+1)/x^n+2

= (-1)^(n+1)*(n+1)!/x^(n+2) dc c'est "héréditaire"

NB n!=1*2*3*....*n

donc n!*(n+1)=1*2*3*...n*(n+1)=(n+1)!

[arnaudrou]

merci beaucoup!