arnaudrou Posté(e) le 3 octobre 2007 Signaler Posté(e) le 3 octobre 2007 Bonjour à tous, Qui peut m'aider dans mon DM ou je suis bloqué: Le plan est rapporté au repère orthonormal (0;i ,j).On considère l'application f du plan dans lui même qui, au point M(x,y) associe le point M'(x',y') vérifiant: x'=1/2(1-y) et y'=1/2(x-3) 1)a) Montrer que f admet un unique point invariant Ω. --> J'ai fais le système et je trouve un point Ω(1;-1) B) Prouver que ΩM'= 1/2ΩM. --> La je n'y arrive pas (j'y suis presque), j'utilise bien les propriétés des vecteurs: ΩM' = racineV[(1/2(1-y)-1)² + (1/2(x-3)+1)²] = racineV[(-1/2-1/2y)² + (1/2x-1/2)² ] 1/2ΩM = 1/2 racineV[(x-1)²+(y+1)²] c) Etablir que le triangle ΩMM' est rectangle en Ω. --> J'ai démontré que ΩM et ΩM' sont des vecteursorthogonaux. ---> Ensuite je bloque pour la suite qui peut m'aider ?? 2) Soit M0(1+4V3,3). Pour tout entier naturel n, on pose Mn+1=f(Mn). a)En utilisant la première question, calculer ΩMn en fonction de n. b)Placer le point M0 et construire les points M1,M2,M3,M4. c)A partir de quel indice n0a-t-on: "Pour tout n > n0, Mn appartient au disque de centre Ω et de rayon 0.5"? 3)a)Calculer M0M1 b)Pour tout n de N, on note dn=MnMn+1 Montrer que (dn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. c)On note ln=d0+d1+d2+...+dn. Calculer ln en fonction de n et en déduire la limite de ln en +infini. 4. Pour tout entier n de , on note Gn l'isobarycentre des points M0, M1,M2..., Mn. a)Montrer que, pour tout n > 0, ΩGn < 16/(n+1) b)En déduire la position limite du point Gn lorsque n tend vers +infini Merci d'avance comme vous avez pu le voir le Dm est à rendre le 05/10/07
E-Bahut elp Posté(e) le 3 octobre 2007 E-Bahut Signaler Posté(e) le 3 octobre 2007 pour Omega c'est OK (je mets @ pour omega) vecteur @ M (x-1;y+1) et @M² est égale à (x-1)²+(y+1)²=x²+y²-2x+2y+2 vecteur @ M' ((1-y)/2-1; (x-3)/2+1) et @M²' est égale à ((-y-1)/2)²+(x-1)/2)²=(x²+y²-2x+2y+2)/4=@M²/4 @M'²=@M²/4 donc @M'=@M/2 vecteur @Mo (4*V3;4) donc @Mo²=16*3+16=64 et @Mo=8 on utilise le résultat précédent et on a @M1=@Mo/2=4 puis @M2=2 etc...@Mn=8/(2^n) il faut trouver n tel que 8/(2^n)<0.5 les triangles @MnMn+1 sont tous rectangles en @ ils sont semblables (les côtés de chaque nouveau triangle mesurent la moitié des côtés du triangle précédent) avec le th de Pythagore tu peux calculer la longueur de l'hypoténuse MoM1 (=rac(8²+4²) ) en divisant par 2 tu auras la longueur de M1M2 et ainsi de suite donc tu as une progression géom. de raison 1/2 pour le c): somme des termes d'une progr géom 4) par déf du barycentre ds le cas du pb (en vecteur) (1+1+1....+1)@Gn=1@M0+1@M1+1@M2+.....1@Mn en passant aux normes: (n+1)@Gn<=@M0+@M1+....@Mn (n+1)@Gn<=8+4+2+....+8/2^n (n+1)@Gn<=8(1+1/2+1/4+....1/2^n) (n+1)@Gn<=8((1-1/2^n+1)/(1-1/2)<=8(1)/(1-1/2)=16 dc @Gn<=16/(n+1) cette distance tend vers 0 qd n tend vers l'infini
arnaudrou Posté(e) le 3 octobre 2007 Auteur Signaler Posté(e) le 3 octobre 2007 Un très grand merci elp pour ton aide! J'ai pratiquement tout compris, juste encore quelques questions. Comment dois-je procéder pour construire les points M1, M2, M3, M4? Ensuite pour la 2c) petite erreur de ma part le rayon est de 0.05, mais je n'arrive pas à résoudre l'équation (puissance a dénominateur qui me bloque): 8/2^n - 0.05 < 0 Donc pour la 3)B) pour démontrer que la suite est géométrique aucun calcul n'est necessaire? Pour la 3)c) va donne ln = d0 * (1-1/2^n) / 1-1/2 et ensuite? Merci d'avance
E-Bahut elp Posté(e) le 4 octobre 2007 E-Bahut Signaler Posté(e) le 4 octobre 2007 pour la construction des points Mo(1+4V3;3) l'abscisse de M1 est 0.5*(1-yo)=0.5*(1-3)=-1 son ordonnée est 0.5*(x0-3)=0.5*(1+4V3-3)=0.5*(4V3-2)=2V3-1 on refait les mêmes calculs pour trouver les coord de M2 sinon: solution géométrique: construire les triangles rectangles @MnMn+1 dont les côtés sont à chaque fois 2 fois plus courts 8/(2^n)<0.05 8<0.05*2^n 8/0.05<2^n 160<2^n calcule 2^7 et 2^8 et tu verras ! pour la 3: on obtient un côté en multipliant le précédent par 1/2 donc on a bien une prog géométrique (1/2)^n tend vers 0 quand n tend vers + l'infini d0 * (1-1/2^n) / 1-1/2 tend vers d0*1/(1-1/2)=2d0
arnaudrou Posté(e) le 4 octobre 2007 Auteur Signaler Posté(e) le 4 octobre 2007 Ecore merci elp pour tes explication claires et précises. J'ai bein compris, juste un dernier détail que je ne comprends pas pour la 3)c) (1/2)^n tend vers 0 quand n tend vers + l'infini ---> ca je comprends d0 * (1-1/2^n) / 1-1/2 tend vers d0*1/(1-1/2)=2d0 ---> mais la je ne vois pas ou tu veux en venir, la lim de ln au final c'est 0 ou pas?
arnaudrou Posté(e) le 4 octobre 2007 Auteur Signaler Posté(e) le 4 octobre 2007 Excuse moi encore de te déranger (en esperant que tu passes ce soir sur le forum), il y a quelques details dans la 4) qui m'échappent: je ne comprends pas cette étape : (n+1)@Gn<=8((1-1/2^n+1)/(1-1/2)<=8(1)/(1-1/2)=16 Comment passes tu de la somme des termes de la progr géom à 8(1)/(1-1/2) Et au niveau de la limite il vaut étudier la limite de 16/(n+1) ??
E-Bahut elp Posté(e) le 5 octobre 2007 E-Bahut Signaler Posté(e) le 5 octobre 2007 Ecore merci elp pour tes explication claires et précises. J'ai bein compris, juste un dernier détail que je ne comprends pas pour la 3)c) (1/2)^n tend vers 0 quand n tend vers + l'infini ---> ca je comprends d0 * (1-1/2^n) / 1-1/2 tend vers d0*1/(1-1/2)=2d0 ---> mais la je ne vois pas ou tu veux en venir, la lim de ln au final c'est 0 ou pas?
E-Bahut elp Posté(e) le 5 octobre 2007 E-Bahut Signaler Posté(e) le 5 octobre 2007 Excuse moi encore de te déranger (en esperant que tu passes ce soir sur le forum), il y a quelques details dans la 4) qui m'échappent: je ne comprends pas cette étape : (n+1)@Gn<=8((1-1/2^n+1)/(1-1/2)<=8(1)/(1-1/2)=16 Comment passes tu de la somme des termes de la progr géom à 8(1)/(1-1/2) Et au niveau de la limite il vaut étudier la limite de 16/(n+1) ??
missotori Posté(e) le 17 octobre 2007 Signaler Posté(e) le 17 octobre 2007 hm bonjour tout le monde voila il se trouve que j ai aussi une partie de cet exercice en DM .... O_o moi je bloque a partir de la question 3/ B) c est a dire que j ai mis que le premier terme était Do= 4racine de 5 (car MoM1 = 4 racine de 5, mais est ce vraiment lui le premier terme?) cependant j ai un petit doute ... et en calculant la somme des termes de cette suite j ai peur que cela me change tout ! J arrive donc a qqch comme Ln: 4racine de 5 (1 - (1/2)^n+1 / (1/2) ) = 4 racine de 5 (2 - (1/2)^n) = 8 racine de 5 - 2 racine de 5 = 10 racine de 5 ... est ce que ce raisonnement est totalement faux? ensuite pour la question 4/ ... je suis totalement perdue, je ne comprends pas du tout votre raisonnement .. simplement parceque les barycentres c est ma bête noire ... voila merci d avance !.. a bientot j espère
missotori Posté(e) le 17 octobre 2007 Signaler Posté(e) le 17 octobre 2007 je n ai pas trouvé comment modifier mon sujet mais je voulais bien dire question 3 petit b...
E-Bahut elp Posté(e) le 17 octobre 2007 E-Bahut Signaler Posté(e) le 17 octobre 2007 le 1er terme est bien do=4V5 4racine de 5 (1 - (1/2)^n+1 / (1/2) ) =8V5(1-(1/2)^n+1) si n --->+oo alors (1/2)^n+1 --->0 et la limite est 8V5 on utilise la déf du barycentre par exemple: (a+b+c)MG=aMA+bMB+cMC ici tous les coeff sont 1 donc on a (1+1+1....+1)@G_n=1@M_0+1@M_1+1@M_2+.....1@M_n etc... (voir message précédent , j'ai mis un tiret ici pour que tu vois bien les 2 extrémités des vecteurs sans être troublée par les indices) bon courage pour la suite. A plus
missotori Posté(e) le 17 octobre 2007 Signaler Posté(e) le 17 octobre 2007 merci beaucoup pr cette réponse hm je comprends a peu prés ton cheminement ... mais comme arnaudrou je bloque totalement sur le (n+1)@Gn<=8((1-1/2^n+1)/(1-1/2)<=8(1)/(1-1/2)=16 ... je ne comprends pas le passage entre 8(1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n ...) et 8((1-1/2^n+1)/(1-1/2) encore merci ^^
E-Bahut elp Posté(e) le 18 octobre 2007 E-Bahut Signaler Posté(e) le 18 octobre 2007 1+1/2+1/4+1/8+....1/2^(n+1) c'est une somme de termes d'une progression géométrique: 1er terme 1 et raison 1/2 et il est facile de calculer cette somme A plus
missotori Posté(e) le 18 octobre 2007 Signaler Posté(e) le 18 octobre 2007 merci beaucoup <3 j ai enfin tout compris, et c'est même trés clair !! merci de ce dévouement voila à bientôt peut être :P
missotori Posté(e) le 18 octobre 2007 Signaler Posté(e) le 18 octobre 2007 une dernière petite question ! pour placer Mo, M1, M2, M3 et M4 dans le plan on fonctionne qu a l aide d approximations? car en calculant les x et les y de chaque point on obtient toujours des racines sur l une des deux valeurs ... aucune valeur ou presque n étant juste je me demande si c est la bonne solution.. cependant je ne comprends pas vraiment l explication géométrique .. (qui ne s occupe apparament pas des valeurs ...)
missotori Posté(e) le 18 octobre 2007 Signaler Posté(e) le 18 octobre 2007 euh au passage ... je ne vois pas du tout graphiquement dans quel sens on est censé voir des triangles rectangles O.O sauf si mon dessin est faux, mes approximations aussi ainsi que les coordonnées des points .. c est possible enfin j ai trouvé M1 (-1, -1+2racine de 3) M2 (1-racine de 3, -2) M3 (3/2, -1-(racine de 3)/2) M4 (1+(racine de 3)/4, -3/4) voila en espérant être éclairée ! merci d avance a bientot
E-Bahut elp Posté(e) le 18 octobre 2007 E-Bahut Signaler Posté(e) le 18 octobre 2007 Mo se place approximativement et les autres ausii tu traces le segment @M0 @M0=8 @M1=4 et il y a un angle droit en @ donc tu peux placer M1 @M2=2 et il y a tjs un angle droit en @ dc tu peux placer M2 etc
E-Bahut elp Posté(e) le 18 octobre 2007 E-Bahut Signaler Posté(e) le 18 octobre 2007 Ok pour les coord de M1; M2; M3 (je me suis arrêté là !) tu places M0 tu traces la perpendiculaire en @ à (@M0) sur cette perp, (ds le 1/2 plan où les ordonnées sont >0), tu place M1 à 4 cm de @ ensuite tu fais encore un quart de tour autour de @ et tu place M2 à 2cm de @ encore un 1/4 de tour et M3 à 1cm de @ etc etc..(ça ressemble à une "spirale autour de @) (je sais que ça serait plus clair si je pouvais faire un dessin) bonne fin d'exo A +
missotori Posté(e) le 19 octobre 2007 Signaler Posté(e) le 19 octobre 2007 hmm merci cette explication me parait tout de suite plus claire bon on ns a fait télécharger un sublime logiciel intitulé geogebra dc j ai sauté sur l occasion pour te montrer ce que ça m a donné ! bon les coordonnées ne correspondent pas tout a fait a ce que j avais trouvé .. dc peut etre est ce que j avais fait une erreur? je sais pas ! en tout cas est ce que c est censé donner qqch comme ça? sinon dsl ms je n ai pas tout compris :P (au passage c est pas trés précis ce que j ai fait, c est surtout pour la vue d ensemble et je n ai pas tracé toutes les droites parcequ on ne voyait plus rien !) voila merci d avannceee a bientot
E-Bahut elp Posté(e) le 19 octobre 2007 E-Bahut Signaler Posté(e) le 19 octobre 2007 trace les segments MoM1; M1M2;M2M3;M3M4 etc ça ressemblera à une spirale ton dessin me parait correct je te félicite pour l'ardeur que tu déploies à faire ton travail correctement; c'est un plaisr de t'aider. A plus
E-Bahut elp Posté(e) le 20 octobre 2007 E-Bahut Signaler Posté(e) le 20 octobre 2007 je t'envoie une figure. A +
missotori Posté(e) le 24 octobre 2007 Signaler Posté(e) le 24 octobre 2007 héhé c est moi qui suis contente de recevoir de l aide si gentiment ! mon dm est a rendre pour vendredi finalement donc je n y suis pas encore vraiment revenue .. enfin merci pour cette figure ! je comprends beaucoup mieux :P par contre les coordonnées de mes points sont fausses .. peut être que je déploie de l ardeur au travail ... cependant mon résultat au DS n est pas trés honorable .. j ai eu 7 et je suis tréééés déçue .. enfin un DS demain pour peut être me rattraper ! a bientot
missotori Posté(e) le 24 octobre 2007 Signaler Posté(e) le 24 octobre 2007 j ai oublié de préciser que @Mo ne fait pas 8cm sur mon dessin ... pourtant j ai bien mis Mo aux bonnes coordonnées Oo .. est ce normal?...
missotori Posté(e) le 24 octobre 2007 Signaler Posté(e) le 24 octobre 2007 en fait je sais pourquoi ^^ mon échelle était mauvaise ... enfin merci quand meme pour cette patience a mon égard :P
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