Dm De Math

[keiko]

Dm de spécialité math d'une TS... Sur la divisibilté dans Z et les congruences.

Alors au début j'ai un QCM mais il faut justifier la réponse je suis arrivée à tout sauf à cette question :

3^n+7 est divisible par 11 si et seulement si :

a_ n=5k+1

b_ n=5k+4

c_ n=5k

k appartenant à Z

Bon la réponse c'est la b mais je sais pas comment justifier...

Puis un vrai ou faux (si c'est vrai faut faire une démonstration, si c'est faux un exemple)

Pour tout entier naturel n, 4n+3 n'est jamais un carré parfait.

C'est le mot jamais qui me gêne, je pense que je suis obligée de faire une démonstration dans tous les cas mais bon je ne sais pas par où commencer.

Merci ^^

[keiko]

Je ne suis pas arrivée à modifier l'ancien message mais j'ai trouvé pour

Pour tout entier naturel n, 4n+3 n'est jamais un carré parfait.

Suffit juste de passer par les congruences et ça simplifie tout ça on arrive à n=1(4) donc ce n'est jamais un carré parfait parce que sinon on aurait n=0(4).

Voilà...

Mais j'ai d'autres petits problème (bah voui un dm de 2 pages...)

Je n'arrive pas à formuler une phrase correctement en termes mathématiques :

Il faut démontrer que q=E(a/b) avec q le quotient de la divison euclédienne de a par b.

Bon j'ai q+r=a/b. Or 0 r<q donc q q<q+1 où q+1 est... bah là je n'arrive pas à expliquer ce que je veux faire parce qu'après il faut utiliser (je pense) le fait que la fonction partie entière associe à tout x l'entier n tel que n x<n+1.

(Je ne sais pas si je suis très clair dans mes explications... )

Sinon ^^ outre mes problèmes de formulation j'en ai deux autres (niark ).

B est le nombre d'années bissextiles qui ont précédé l'année A depuis la date fictive du 1er janvier de l'an 1.

Une année est bissextile lorsque on millésime A est un multiple de 400 ou lorsque A est un multiple de 4 sans être un multiple de 100.

Démontrer que B=E((A-1)/4)-E((A-1)/100)+E((A-1)/400).

Bon avec ce que l'on a dit juste au dessus en gris plus le fait que dans la division euclédienne le quotient q=E(a/b) je vois bien le rapport mais je ne comprends pas pourquoi on fait une divison euclédienne ?

Parce que j'ai A qui est un multiple de 4 donc il existe k appartenant à Z tel que A=4k. En faite j'ai que ça lol et après je ne sais pas pourquoi on fait un division euclédienne...

Et après en admettant ce résultat j'ai un autre problème un peu plus loin...

On note (J;M;A) une date.

Comment calculer le nombre R de jours entre les dates (1;1;A) et (J;M;a) (ces deux jours compris) ? Pfff ça à l'air tout simple mais je ne vois pas comment...

Sinon pour le reste de l'excercice tout baigne ^^.

Le 14 juillet 1789 était un mardi pour tout ce que ça interesse (lol c'était la finalité de l'exercice ^^).

Merci à celui ou celle qui prendra la peine de lire tout mon tit charabia et qui veut bien m'aider...

[elp]

des pistes:

a=bq+r avec 0<=r<b

en divisant par b:

a/b=q+r/b

q est entier et r/b est un décimal tel que 0<= r/b<1 donc q est la partie entière de a/b et r/b est sa partie décimale

année bissextile : A multiple de 4 ss être multiple de 100 sauf si multiple de 400

l'idée est la suivante:

(A-1)/4 : années divisibles par 4

mais on doit enlever les multiples de 100 donc moins (A-1)/100 sauf qu'il faut rajouter les exceptions : les multiples de 400 donc plus (A-1)/400

pour le nbre de jours entre 2 dates A et B:

calculer d'abord le nbre de jours entre A et l'origine des temps de l'ex (1/1/01)

faire le même calcul pour B

ensuite on fait la différence des 2 résultats

pour le nbre de jours entre A et l'origine:

calculer entre A et le 1/1 de l'année de A

ensuite compter le nombre d'années bissextiles ayant précédée A (à multiplier ensuite par 366)

on peut déduire du nbre d'annés bissextiles le nbre d'années non bissextiles (à multiplier ensuite par 365)

A plus

[keiko]

petite qestion

quand j'ai a²+9=0(4) je fais a²=9(4)=-1(4) ?

[elp]

oui ou =3 (4)

[keiko]

voui merci...

encore quelque question et après promis j'arrête ^^

bah je sais toujours pas faire cette question :

3^n+7 est divisible par 11 si et seulement si :

a_ n=5k+1

b_ n=5k+4

c_ n=5k

(réponse B)

Parce que le problème c'est le "si et seulement si" ça sous-entend qu'il ya une équivalence alors je peux pas essayer tous les résultats et dire hop le b marche donc c'est ça la solution.

Puis aussi j'ai un exercice :

On code les dix caractàres A, B, C... K auxquels on associe dans l'ordre les entiers de 1 à 10 et on note @={1;2;3;...;10}.

Voilà bref j'ai fait l'excercice il fallait codé le mot BADGE avec une fonction puis on nous demande avec une fonction f'n définie sur @ par "f(n) est le reste de la division euclédienne par 11 de 2^n" donc bah j'ai codé le mot BADGE, mais après il y a une autre question "dites pourquoi elle permet le déchiffrement à l'aide de g de tout message écrit avec les lettres de @".

En faite ça doit être que pour déchiffrer le message il n'y a aucune ambiguïté mais je ne sais pas trop comment expliquer ça...

Merci ^^

[keiko]

(reponse b ) et "pas réponse B)"

[elp]

3^n+7 divisible par 11 ssi 3^n ==4 (11)

(je mets == pour congru)

3^0==1

3^1==3

3^2==9

3^3==5

3^4==4

3^5==1 comme 3^0

3^6==3

3^7==9

3^8==5

3^9==4 et ça recommence !!

on fait un raisonnement par récurrence (je ne le fais pas en entier)

on suppose que 3^(5n+4) ==4 (11)

on a alors

3^(5*(n+1)+4)=3^5n * 3^5 *3^4=3^(5n+4)*3^5 dc== 4*1 dc==4 (11)

on a donc démontré que pour tout n: 3^(5n+4) ==4(11)

réciproquement, seuls les exposants de la forme 5n+4 conviennent

car si on ajoute 1 à cet exposant la puissance sera ==1, si on ajoute 2 elle sera ==3 puis 9 puis 5 puis on retombe sur 4

[elp]

a2 b4 c8 d5 e10 f9 g7 h3 i6 j1

avec K ça ne marche pas car ça fait 11 lettres

A chaque lettre correspond un reste et un seul

A chaque reste correspond une lettre et une seule

il y a une bijection entre l'ensemble des 10 lettres et l'ensemble des 10 restes

comme tu le dis il n'y a pas d'ambiguité, pour un nombre donné on peut hésiter entre 2 lettres et réciproquement