Dm De Maths

[laflo333]

f est une fonction continue sur I=[0,1] et dérivable sur ]0,1[. Pour tt réel x ds I, f(x) est dans I et pour tout réel x dans ]0,1[, f'(x<1.

Démontrez que l'équation f(x)=x a une solution et une seule sur I.

Merci d'avance

[elp]

quelques indications (il faudra rédiger correctement)

considère la fonction g(x)=f(x)-x (f(x)=x équivaut à g(x)=0)

elle est continue ds [0;1]

sa dérivée est: f ' (x) -1 donc est négative à cause de l'hypothèse f '(x)<1

g est donc décroissante strictement sur [0;1]

g(0)=f(0)-0 = f(0) dc ds [0;1] dc positive

g(1)=f(1)-1 et comme f(1) est ds [0,1] alors g(1) est négative

il suffit alors d'appliquer le th des valeurs intermédiaires: pour tout nombre k compris entre g(0) et g(1) l'équation g(x)=k a une solution unique ds [0;1]

dc g(x)=0 a une seule solution ds [0;1] dc il y a un seul x ds cet intervalle tel que f(x)=x

[laflo333]

quelques indications (il faudra rédiger correctement)

considère la fonction g(x)=f(x)-x  (f(x)=x équivaut à g(x)=0)

elle est continue ds [0;1]

sa dérivée est:  f ' (x) -1 donc est négative à cause de l'hypothèse f '(x)<1

g est donc décroissante strictement sur [0;1]

g(0)=f(0)-0 = f(0) dc ds [0;1] dc positive

g(1)=f(1)-1 et comme f(1) est ds [0,1] alors g(1) est négative

il suffit alors d'appliquer le th des valeurs intermédiaires: pour tout nombre k compris entre g(0) et g(1) l'équation g(x)=k a une solution unique ds [0;1]

dc g(x)=0 a une seule solution ds [0;1] dc il y a un seul x ds cet intervalle  tel que f(x)=x

<{POST_SNAPBACK}>

[laflo333]

merci beaucoup pour ton aide.

<{POST_SNAPBACK}>

g(0)=f(0)-0 = f(0) dc ds [0;1] dc positive : c'est koi ki est ds [0,1] ET QUI est positive?

merci encore

[elp]

c'est g(0) car g(0)=f(0) et f(0) par hypothèse est dans l'intervalle I (pour tout réel x de I, f(x) est ds I dc 0 étant ds I alors f(o) est ds I)