laflo333 Posté(e) le 15 octobre 2006 Signaler Share Posté(e) le 15 octobre 2006 f est une fonction continue sur I=[0,1] et dérivable sur ]0,1[. Pour tt réel x ds I, f(x) est dans I et pour tout réel x dans ]0,1[, f'(x<1. Démontrez que l'équation f(x)=x a une solution et une seule sur I. Merci d'avance Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut elp Posté(e) le 15 octobre 2006 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 15 octobre 2006 quelques indications (il faudra rédiger correctement) considère la fonction g(x)=f(x)-x (f(x)=x équivaut à g(x)=0) elle est continue ds [0;1] sa dérivée est: f ' (x) -1 donc est négative à cause de l'hypothèse f '(x)<1 g est donc décroissante strictement sur [0;1] g(0)=f(0)-0 = f(0) dc ds [0;1] dc positive g(1)=f(1)-1 et comme f(1) est ds [0,1] alors g(1) est négative il suffit alors d'appliquer le th des valeurs intermédiaires: pour tout nombre k compris entre g(0) et g(1) l'équation g(x)=k a une solution unique ds [0;1] dc g(x)=0 a une seule solution ds [0;1] dc il y a un seul x ds cet intervalle tel que f(x)=x Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
laflo333 Posté(e) le 15 octobre 2006 Auteur Signaler Share Posté(e) le 15 octobre 2006 quelques indications (il faudra rédiger correctement) considère la fonction g(x)=f(x)-x (f(x)=x équivaut à g(x)=0) elle est continue ds [0;1] sa dérivée est: f ' (x) -1 donc est négative à cause de l'hypothèse f '(x)<1 g est donc décroissante strictement sur [0;1] g(0)=f(0)-0 = f(0) dc ds [0;1] dc positive g(1)=f(1)-1 et comme f(1) est ds [0,1] alors g(1) est négative il suffit alors d'appliquer le th des valeurs intermédiaires: pour tout nombre k compris entre g(0) et g(1) l'équation g(x)=k a une solution unique ds [0;1] dc g(x)=0 a une seule solution ds [0;1] dc il y a un seul x ds cet intervalle tel que f(x)=x <{POST_SNAPBACK}> Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
laflo333 Posté(e) le 15 octobre 2006 Auteur Signaler Share Posté(e) le 15 octobre 2006 merci beaucoup pour ton aide. <{POST_SNAPBACK}> g(0)=f(0)-0 = f(0) dc ds [0;1] dc positive : c'est koi ki est ds [0,1] ET QUI est positive? merci encore Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut elp Posté(e) le 15 octobre 2006 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 15 octobre 2006 c'est g(0) car g(0)=f(0) et f(0) par hypothèse est dans l'intervalle I (pour tout réel x de I, f(x) est ds I dc 0 étant ds I alors f(o) est ds I) Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
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