Un Grand Premier

[Serial-Killeuse]

Bonjour à tous, j'aurai besoin d'un peu d'aide sur cet exercice :s

Les mathématiciens ont longtemps cherché des procédés pour découvrir et reconnaitre des nombres premiers. Euler et Fermat, pour ne citer qu'eux, ont fait progresser les connaissances dans ce domaine. On sait par exemple que le nombre A= 2 puissance 521 - 1 est un nombre premier.

1/ Votre calculatrice permet-elle de déterminer A?

2/ Celle de Julien affiche un message d'erreur quand on lui demande ce calcul car il dépasse sa capacité. Aidons Julien à trouver malgré tout quelques caractéristiques du nombre A.

a. Que vaut exactement (2puissance260) * 2 ?

b. La machine de julien lui indique 1.852 673 428 *10puissance78 pour le calcul de 2puissance260.

S'agit-il du résultat exact? Comment en est-on sur?

c.Utiliser la valeur indiquer au b. pour obtenir une valeur approchée de A sous former scientifique.

d. Combien de chiffres l'écriture exacte de A comporte t-elle ?

Quel est son chiffre des unités? (observer ceux de 2puissance2, 2p3, 2p4, etc.)

Merci d'avance ...

[elp]

impossible de trouver A avec la calculatrice

2^260*2=2^261

1.852...*10^78 se termine par un zéro et aucune puissance de 2 ne se termine par 0 donc le résultat n'est pas exact

A=(2^260)*(2^260)*2-1 donc en utilisant ce qui précède on arrive au résultat demandé.

on calcule 1.852673428^2, on multiplie par 2 puis par 10^78*10^78 (le -1 est négligeable !)

on a 6.864797662*10^156

A a donc 157 chiffres

2^1=2

2^2=4

2^3=8

2^4=16 se termine par 6

2^5=32 se termine par 2

2^6=64 se termine par 4

2^7=128 se termine par 8

on a donc une succession :2,4,8,6,2,4,8,6 etc (on met à part 2^0 qui vaut 1)

2 avec un exposant multiple de 4 se termine par 6

2 avec un exposant (multiple de 4 plus 1) se termine par 2

2 avec un exposant (multiple de 4 plus 2) se termine par 4

2 avec un exposant (multiple de 4 plus 3) se termine par 8

520 est divisible par 4 dc 2^520 se termine par 6

2^521 se termine dc par 2

2^521 - 1 se termine donc par 1

[Serial-Killeuse]

Ok! Je vais essayer de faire ça en comprenant. Je te remercie de ton aide

Merci beaucoup!!!

[Serial-Killeuse]

Oups je viens de remarquer que j'ai fais une erreur à cette question :

a.C'est que vaut exactement (2^260)²*2 ? et non pas

Que vaut exactement (2puissance260) * 2

Est ce que le reste change alors ?

[elp]

(2^260)²*2=2^260*2^260*2=2^(260+260+1)=2^521

C'est ce que j'ai calculé ensuite dans ma réponse précédente (en fait j'ai calculé 2^261*2^260 ce qui revient au même).

Il n'y a rien à changer ds la suite de l'exo.

A plus