Révision Bac S

[Vanderbick]

Bonjour/Bonsoir,

Dans le cadre de mes révisions pour le bac, je fais quelques exercices portant sur l'ensemble du programme.

Celui-ci porte sur les équations différentielles, j'ai réussi à faire les premières questions, mais pas la suite. Si vous pouviez m'aider, merci bien à vous.

Enoncé :

On désigne par f une fonction dérivable sur |R, solution de l'équation différentielle :

z'= 1 - z², avec la condition initiale z(0)=0.

On suppose f' est strictement positive sur |R.

1. (a) Calculer f'(0)

(b ) Démontrez que, pour tout nombre réel x, -1 < f(x) < 1

2. On pose pour tout réel x, g(x) = 1 / ( f(x)-1 )

(a) Montrez que g est solution de l'équation différentielle (E') :

y'= 2y+1, avec la condition initiale y(0)=-1

(b ) Résoudre l'équation (E').

(c ) en déduire que pour tout réel x, f(x) = (e^x - e^-x)/(e^x + e^-x)

3. Montrez que f est une fonction impaire.

4. (a) Etudier les limites de la fonction f en + et - .

(b ) Dresser le tableau de varitaion de la fonction f.

5. (a) Soit m un nombre réel tel que -1<m<1.

Démontrez que l'équation d'inconnue x, f(x)=m admet une solution unique .

(b ) Lorsque m=1/2, donner une valeur décimale approochée de à 10^-3 près.

Résolution :

1. (a) On a : f'(x) = 1 - f(x)²

D'où f'(0) = 1 - f(0)² = 1 - 0 = 1

(b ) f(x) 0

1 - f(x)² > 0

Or, 1-x² > 0 Donc -1<x<1

Donc, -1<f(x)<1, pour tout réel x.

2. (a) On cherche à prouver que :

g'(x) = 2g(x) + 1 et g(0) = -1

Or, g(x) = 1 / ( f(x) -1)

g est bien définie car f(x)-1 0.

g est aussi dérivable sur |R comme quotient de deux fonctions dérivables sur |R, pour tout réel x.

g'(x) = -f'(x) / ( f(x) - 1)²

g'(x) = ( f(x)² - 1) / ( f(x) - 1)²

g'(x) = ( f(x) - 1).( f(x) + 1) / ( f(x) - 1)²

g'(x) = ( f(x) +1) / ( f(x) -1)

Or, 2g(x) + 1 = 2/( f(x) -1) + 1 = ( f(x) +1) / ( f(x) -1) = g'(x)

Donc g est bien solution de l'équation différentielle (E').

[elp]

l'ens des sol de y' = ay+b est l'ens des f de la forme k*(e^ax) - b/a

dc ici :k*e^2x - 1/2

g(0)=-1 entraine -1=k-1/2 dc k=-1/2

g(x)=(-1/2)*(e^2x + 1) dc 1/(f(x)-1)=(-1/2)*(e^2x + 1)

f(x)-1=-2/(e^2x + 1)

f(x)=1-2/(e^2x +1)=[e^2x +1 -2]/(e^2x +1)=(e^2x -1)/(e^2x +1)=

[e^x(e^x-e^-x)]/[e^x(e^x+e^-x)]=(e^x-e^-x)/(e^x+e^-x)

A plus