bloudwine Posté(e) le 27 avril 2006 Signaler Posté(e) le 27 avril 2006 Bonjour à tous , :P Alors voila j'ai un petit probléme dans une démonstration a faire sur le nombre d'or : Soit la suite (An) définie par : A0=2 An+1=1+1/An Premiére question st de démontrer que An est comprise entre 3/2 et 2 Est que An est monotone . Ensuite on pose Un=A2n et Vn=A2n+1 a)vérifier que pour tout n,Un+1=f(Un) et Vn+1=f(Vn) avec f(x)=(2x+1)/(x+1) Je l'ai fait pour Un+1 mais je n'y arrive pas avec Vn+1 est ce que c'est égale a An+3 ?? b)Montrer que (Un) et (Vn) sont des suites adjacentes La aussi comment puis je montrer qu'elle st adjacentes puisque je ne connais pas leur premier terme et ne peux pas déterminer si les suites st croissante ou décroissante ? C)en déduire que (an) est convergente et calculer sa limite C'est avec le théoréme des gendarmes je pense ?? Svp aidez moi !! Blan
E-Bahut elp Posté(e) le 27 avril 2006 E-Bahut Signaler Posté(e) le 27 avril 2006 des indications vite fait... on procède par récurrence si 3/2<An<2 alors 1/2<1/An<2/3 et 1+1/2<1+1/An<1+2/3 dc 3/2<An+1<5/3 A0=2 A1=1.5 et ensuite A2=5/3 et A3=8/5 dc je te laisse finir (et on voit que la suite n'est pas monotone) Un=A2n A2n+1=1+1/A2n=(A2n +1)/(A2n) Un+1=A2n+2=1+A2n/(A2n +1)=(A2n +1 +A2n)/(A2n +1)=(2A2n +1)/(A2n +1) dc relation de la forme (2x+1)/(x+1) idem pour Vn la dérivée de f est 1/(x+1)² dc toujours positive (car x diff de -1 vu l'encdrement du début) f est dc croissante si Un>Un+1 alors f(Un)>f(Un+1) dc Un+1>Un+2 dc faire une récurrence pareil pour Vn: Vn<Vn+1 entrainera Vn+1<Vn+2 tu montres ainsi que l'une est croissante et l'autre décroissante la croissante est majorée par 2 dc elle converge et la décroissante est minorée par 3/2 dc elle converge aussi si l est la limite de Un par exemple on aura l=(2l+1)/(l+1) dc l²+l=2l+1 dc l²-l-1)=0 une seule solution convient pour l c'est la positive (1+rac(5))/2 Un converge vers ce nombre pareil pour Vn dc (Un-Vn) td vers 0 qd n tend vers +00 et tes 2 suites sont bien adjacentes la limite commune est le nombre d'or (1+rac(5))/2 et c'est la limite de An je te laisse le soin de rédiger tout cela proprement !
bloudwine Posté(e) le 28 avril 2006 Auteur Signaler Posté(e) le 28 avril 2006 l²+l=2l+1 dc l²-l-1)=0 Je ne comprend pas cette écriture??!! Comment je montre que an n'est pas monotone car je l'avais fait avec une récurrence et je trouve qu'elle l'étais !Pourrais tu m'en dire un peu plus stp? Merçi en tout cas
bloudwine Posté(e) le 28 avril 2006 Auteur Signaler Posté(e) le 28 avril 2006 ha et tu pourra me dire si j'ai juste pour vn : Vn=A2n+1 Vn+1=A2n+3 A2n+3=1+1/(A2n+2)=1+1/(1+1/A2n+1)=1+(A2n+1/A2n+2)=(1+2An)/(1+A2n) thanks!!
E-Bahut elp Posté(e) le 28 avril 2006 E-Bahut Signaler Posté(e) le 28 avril 2006 (2x+1)/(x+1)=f(x) Un+1=(2Un +1)/(Un +1) en passant à la limite l, on aura: l=(2l +1)/(l+1) dc l²+l=2l + 1 dc l²-l-1=0 ___________________________ ok pour Vn __________________________ pour montrer que An n'est pas monotone, calcule A0,A1,A2,A3 etc tu verras que les termes d'indice pair décroissente et que ceux d'indice impair croissent.
keiko Posté(e) le 29 avril 2006 Signaler Posté(e) le 29 avril 2006 ah le nombre d'or c'est mon sujet de tpe et pour le démonstrer je suis passée par le définition puis j'ai résolu un polynôme du second degré bcp plus simple que ce qui t'es proposé dans ton exercice ^^
bloudwine Posté(e) le 29 avril 2006 Auteur Signaler Posté(e) le 29 avril 2006 Ha oui oki Bien merçi ! Et comment fait on pour avoir de nouveau code il suffit de répondre aux autres question? B)
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